第2课时导数与函数的单调性
[考试要求]1．能结合实例，借助图象直观了解函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
1．函数的单调性与导数的关系
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导
f′(x)0
f(x)在区间(a，b)上单调递增
f′(x)0
f(x)在区间(a，b)上单调递减
f′(x)＝0
f(x)在区间(a，b)上是常数函数
2．利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
[常用结论]
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)0有解．
3．f′(x)＞0在(a，b)上恒成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件，举例：f(x)＝x3在R上单调递增，但f′(0)＝0．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间上恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性． ()
(2)若函数f(x)的图象在[a，b]上连续，在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)上单调递减． ()
(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)0，则f(x)在定义域上一定单调递增． ()
(4)函数f(x)＝x－sinx在R上单调递增． ()
[答案](1)√(2)√(3)×(4)√
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第二册P103复习参考题5T3改编)f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()
ABCD
C[由题图知，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)0，
∴f(x)在(－∞，0)上单调递增；
当x∈(0，x1)时，f′(x)0，∴f(x)在(0，x1)上单调递减；
当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)0，
∴f(x)在(x1，＋∞)上单调递增．故选C．]
2．(人教A版选择性必修第二册P97习题5.3T2(4)改编)函数f(x)＝x3＋x2－x的单调递增区间为________．
(－∞，－1)，13，+∞[f′(x)＝3x2＋2x－1，令f′(x)0，解得x13或x－1，所以f(x)＝x3＋x2－x在区间(－∞
3．(人教A版选择性必修第二册P97习题5.3T1改编)函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为________．
(0，1)[函数f(x)的定义域为{x|x＞0}，由f′(x)＝1－1x＜0，得0＜x
所以函数f(x)在区间(0，1)上单调递减．]
4．(人教A版选择性必修第二册P87例3改编)已知函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，则实数a的最大值是________．
3[f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2，又因为x∈[1，＋∞)，所以a≤3，即a的最大值是3．]
考点一不含参数的函数的单调性
[典例1](1)(多选)(2025·重庆沙坪坝区模拟)下列函数在定义域上为增函数的是()
A．f(x)＝xlnx B．f(x)＝lnx＋x
C．f(x)＝x－cosx D．f(x)＝x2ex
(2)函数f(x)＝lnx
(1)BC(2)(0，1)[(1)对于A，f(x)＝xlnx的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝lnx＋x·1x＝lnx＋1，令f′(x)＝0得x＝1
所以在0，1e上f′(x)＜0，f(
在1e，+∞上f′(x)＞0，f(
对于B，f(x)＝lnx＋x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x＋1＝1+
f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故B正确；
对于C，f(x)＝x－cosx的定义域为R，f′(x)＝1－(－sinx)＝1＋sinx，
因为x∈R，所以sinx∈[－1，1]，所以1＋sinx∈[0，2]，
所以x∈R时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，故C正确；
对于D，f(x)＝x2ex的定义域为R，f′(x)