导数中的函数构造及指、对同构问题
题型一导数型构造函数
利用f(x)与x构造
[典例1](1)设f(x)是定义域为R的奇函数，f(－1)＝0，当x0时，xf′(x)－f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
(2)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足2xf(x)＋x2f′(x)0，f(2)＝34，则关于x的不等式x2f(x
(1)A(2)(0，2)[(1)令g(x)＝fx
则g′(x)＝xf
所以当x0时，g′(x)0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又f(x)为奇函数，所以g(x)为偶函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增．
又f(1)＝－f(－1)＝0，即g(1)＝g(－1)＝0．
而f(x)0等价于x0，
或x0，
即x0，0＜x1或x0，
所以f(x)0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)．故选A．
(2)由题意，令g(x)＝x2f(x)，x∈(0，＋∞)，
则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又f(2)＝34，∴g(2)＝4f
∴x2f(x)3，即g(x)g(2)，
∴原不等式的解集为(0，2)．]
(1)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝fxx
(2)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)．
[跟进训练]
1．已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x＞0时，2f(x)＞xf′(x)，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________．
(－1，0)∪(0，1)[构造F(x)＝fx
则F′(x)＝f
当x＞0时，xf′(x)－2f(x)＜0，则F′(x)＜0，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．
∵f(x)为偶函数，y＝x2为偶函数，∴F(x)为偶函数，∴F(x)在(－∞，0)上单调递增．根据f(－1)＝0可得F(－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F(x)的图象如图所示，根据图象可知f(x)＞0的解集为(－1，0)∪(0，1)．
]
利用f(x)与ex(或enx)构造
[典例2](1)(2025·江苏常州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，f(1)＝e，且对任意的x满足f′(x)－f(x)ex，则不等式f(x)xex的解集是()
A．(－∞，1) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
(2)设函数f(x)的定义域为R，f′(x)是其导函数，若f(x)＋f′(x)0，f(1)＝1，则不等式f(x)e1-x的解集是()
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0) D．(0，1)
(1)A(2)B[(1)构造函数g(x)＝fxex－x，则g′(x
因为f′(x)－f(x)ex，则f
即g′(x)0，可知g(x)在R上单调递减，且g(1)＝0，由f(x)xex可得fxex－x0，即g(x)g
所以不等式f(x)xex的解集是(－∞，1)．故选A．
(2)构造函数g(x)＝f(x)·ex，则g′(x)＝[f′(x)＋f(x)]·ex0，
故g(x)在R上单调递增，g(1)＝e,f(x)e1-x可化为g(x)e＝g(1)，
故原不等式的解集为(1，＋∞)．故选B．]
(1)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝fxe
(2)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)．
[跟进训练]
2．若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)－2f(x)＞0，f(0)＝1，则不等式f(x)＞e2x的解集为________．
(0，＋∞)[构造函数F(x)＝fx
则F′(x)＝e2xf
∵函数f(x)满足f′(x)－2f(x)＞0，
则F′(x)＞0，F(x)在R上单调递增．
又∵f(0)＝1，则F(0)＝1，∴f(x)＞e2x?fxe2x＞1?F(x)＞
故原不等式的解集为(0，＋∞)．]
利用f(x)与sinx，cosx构造
[典例3]已知f′(x)是函数f(x)的导函数，f(x)－f(－x)＝0，且对于任意的x∈0，π2满足f′(x)cosx＋f(x)sin
A．32f?12f
B．f?π66
C．f(－1)2fπ4
D．22fπ4
A[令g(x)＝fxcosx，x∈0，π2，则