第7课时离散型随机变量及其分布列、数字特征
[考试要求]1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．2．理解并会求离散型随机变量的数字特征．
考点一离散型随机变量的分布列概念及性质
1．随机变量的有关概念
(1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．
(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量．
提醒：若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b为常数)也是随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
(2)离散型随机变量分布列的性质
①pi≥0，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝1．
[典例1](1)(多选)已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)：
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.4
0.2
a
则下列计算结果正确的是()
A．a＝0.1 B．P(X≤2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3
(2)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝ann+1(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P12
A．23 B．
C．45 D
(1)ABD(2)D[(1)因为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，解得a＝0.1，故A正确；
由分布列知P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＋0.4＝0.7，故B正确；
P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.2＋0.1＝0.3，故C错误；
P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.1＋0.2＝0.3，故D正确．
(2)因为P(X＝n)＝ann+1(n＝1，2，3
所以a2+a6+a12
所以P12X52＝P(X＝1)＋P(X＝2)
反思领悟(1)本例中，利用“概率之和为1”可以求相关参数的值，如本例(1)(2)中求a即是如此．
(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率，如本例(1)中，P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)等，本例(2)中P12X52＝P(X＝1)＋
巩固迁移1(2024·遵义期末)某一射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.05
0.06
0.08
m
m
0.21
则P(ξ≤8)＝()
A．0.58 B．0.5
C．0.29 D．0.21
B[由离散型随机变量分布列的性质可知，0.02＋0.05＋0.06＋0.08＋m＋m＋0.21＝1，解得m＝0.29，
故P(ξ≤8)＝1－P(ξ＝9)－P(ξ＝10)＝1－0.29－0.21＝0.5．故选B．]
考点二离散型随机变量的分布列、均值与方差
1．离散型随机变量的均值与方差
离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
(1)均值(数学期望)
称
数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称
其均值E(X)的偏离程度，并称DX为随机变量X的标准差，记为σ(X)
2．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．(a，b为常数)
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)
[常用结论]
(1)E(X)＝X，D(X)＝0，其中X为常数．
(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．
(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2．
离散型随机变量的分布列及数字特征
[典例2](1)(多选)(2024·临夏州期末)离散型随机变量X的分布列如表所示，则()
X
0
1
2
4
P
16
a
16
13
A．a＝13 B．P(X2)＝
C．E(X)＝2 D．D(X)＝7
(2)已知某离散型随机变量X的分布列如表：
X
－1
0
1
2
P
a
b
c
13
若E(X)＝34，P(X≥1)＝712，则D(X)＝(
A．1516 B．
C．1916 D
(1)ACD(2)C[(1)A选项，由题意得，16＋a＋16+13＝1，解得a
B选项，P(X＜2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝16+13＝
C选项，E(X)＝0×16＋1×13＋2×16＋4×13＝
D选项，D(X)＝(0－2)2×16＋(1－2)2×13＋(2－2)2×16＋(4－2)2×13＝
故选ACD．
(2)由题意，得a＋b＋c＝1－13＝23
由E(X)＝(－1)×a＋0×b＋1×c＋2×13＝34，得－a