阶段提能(十七)随机事件的概率离散型随机变量的数字特征
1．(人教A版选择性必修第三册P53习题7.1T5)在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为5∶7∶8，现从这三个地区中任意选取一个人．
(1)求这个人患流感的概率；
(2)如果此人患流感，求此人选自A地区的概率．
[解](1)记事件D：“选取的这个人患了流感”，事件E：“此人来自A地区”，事件F：“此人来自B地区”，事件G：“此人来自C地区”，由题意可得P(E)＝520＝0.25，P(F)＝720＝0.35，P(G)＝820＝0.4，P(D|E)＝0.06，P(D|F)＝0.05，P(D|G)＝
由全概率公式可得P(D)＝P(E)P(D|E)＋P(F)·P(D|F)＋P(G)P(D|G)＝0.25×0.06＋0.35×0.05＋0.4×0.04＝0.0485．
(2)由条件概率公式可得P(E|D)＝PDEPD＝PEP(D
2．(人教A版选择性必修第三册P81习题7.4T7)一个车间有3台车床，它们各自独立工作．设在一段时间内发生故障的车床数为X，在下列两种情形下分别求X的分布列．
(1)假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是20%；
(2)这3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型车床发生故障的概率为10%，B型车床发生故障的概率为20%．
[解](1)由题意知X～B(3，0.2)，
且P(X＝0)＝C30(1－0.2)3＝0.5
P(X＝1)＝C310.2×(1－0.2)2＝0.3
P(X＝2)＝C320.22×(1－0.2)＝0.0
P(X＝3)＝C330.23＝0.00
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.512
0.384
0.096
0.008
(2)由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，且
P(X＝0)＝0.92×0.8＝0.648，
P(X＝1)＝C21×0.1×0.9×0.8＋0.92×0.2＝0.144＋0.162＝0.3
P(X＝2)＝C220.12×0.8+C21×0.1×0.9×0.2
P(X＝3)＝0.12×0.2＝0.002，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.648
0.306
0.044
0.002
3．(北师大版选择性必修第一册P219习题6－4A组T6)袋中有除颜色外完全相同的2个白球和3个黑球．
(1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两个球颜色不同的概率；
(2)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率；
(3)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记X为摸出的白球个数，求X的分布列、均值和方差；
(4)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记Y为摸出的白球个数，求Y的分布列、均值和方差．
[解](1)记“摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同”为事件A，摸出一球是白球的概率为25，摸出一球是黑球的概率为3
所以P(A)＝25×3
(2)记事件B为“第一次摸到黑球”，事件C为“第二次摸到黑球”，依题意知P(B)＝35，P(BC)＝3×25×4＝
所以在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率为P(C|B)＝PBCPB
(3)由题意，X的取值为0，1，2，则
P(X＝0)＝35×3
P(X＝1)＝25×3
P(X＝2)＝25×2
X的分布列为
X
0
1
2
P
925
1225
425
所以E(X)＝0×925＋1×1225＋2×425
D(X)＝0-452
(4)由题意，Y的取值为0，1，2，则
P(Y＝0)＝35×2
P(Y＝1)＝35×2
P(Y＝2)＝25×1
Y的分布列为
Y
0
1
2
P
310
35
110
所以E(Y)＝0×310＋1×35＋2×110
D(Y)＝0-452
4．(人教B版必修第二册P129习题5－4BT4)甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品且乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品且丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为
(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．
[解](1)设事件A，B，C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品，
由题知PAB
又P(A)，P(B)，P(C)均大于0，
所以P(A)＝13，P(B)＝14，P(C)＝
即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13
(2)记事件D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品，则P(D)＝1－P(D)＝1－[1－P(A)][1－P(