第3课时一元线性回归模型及其应用
[考试要求]1．了解样本相关系数的统计含义．2．了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法．3．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．
考点一成对数据的相关性
1．变量的相关关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．
2．相关关系的分类
(1)按变量间的增减性分为正相关和负相关．
①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势；
②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势．
(2)按变量间是否有线性特征分为线性相关和非线性相关或曲线相关．
①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关；
②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，我们称这两个变量非线性相关或曲线相关．
3．相关关系的刻画
(1)散点图：成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图．
(2)样本相关系数r的计算式
r＝∑
＝∑n
(3)样本相关系数r的性质
①样本相关系数r的取值范围为[－1，1]；
②当r0时，成对样本数据正相关；
③当r0时，成对样本数据负相关；
④当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；
当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．
提醒：当两个变量的样本相关系数|r|＝1时，两个变量呈函数关系．
[典例1](1)(2024·天津卷)下列图中，线性相关系数最大的是()
AB
CD
(2)(2022·全国乙卷节选)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：
样本号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截
面积xi
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量yi
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
并计算得∑i=110xi2＝0.038，∑i=1
①估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
②求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)．
附：样本相关系数r＝∑i=1n
(1)A[观察题干图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，|r|最大．故选A．]
(2)[解]①样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值x＝0.610＝0.06
样本中10棵这种树木的材积量的平均值y＝3.910＝0.39
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m2，平均一棵的材积量为0.39m3．
②r＝∑
＝∑
＝0.2474-10×0.06×0.39
＝0.01340.0001896≈0.01340.01377≈
反思领悟判定两个变量正、负相关的方法
(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．
(2)样本相关系数：r＞0时，正相关；r＜0时，负相关．
(3)经验回归方程y＝bx＋a中：b0时，正相关；b0
巩固迁移1(1)(2025·凉山州模拟)调查某校高三学生的身高x和体重y得到如图所示的散点图，其中身高x和体重y的样本相关系数r＝0.8255，则下列说法正确的是()
A．学生身高和体重没有相关性
B．学生身高和体重正相关
C．学生身高和体重负相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的样本相关系数一定是0.8255
(2)(2024·福建一模)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－15x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(
A．－1 B．1
C．－15 D．
(1)B(2)A[(1)由散点图可知，散点的分布集中在一条直线附近，所以学生身高和体重具有相关性，A不正确；
又身高x和体重y的样本相关系数为r＝0.8255，样本相关系数r＞0，
所以学生身高和体重呈正相关，B正确，C不正确；
从样本中抽取一部分，相关性可能变强，也可能变弱，所以这部分的样本相关系数不一定是0.8255，D不正确．故选B．
(2)∵这组样本数据的所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－1