*3.态矢的内积（标积）(1)一般态矢的内积§4.5狄拉克符号上式的复共轭为：由于是一个数，所以复共轭与厄米共轭相等:表示和正交:表示为归一化矢量*(2)本征态矢的内积（本征函数内积）例如：线性谐振子哈密顿算符的本征函数为ψn(x)则内积可以写为：本征函数正交归一化方程1）DiscreteSpectrum（离散谱）{un(x)}§4.5狄拉克符号*例如：氢原子哈密顿算符的本征函数为:ψnlm狄拉克表示为：|nlm2）ContinuousSpectrum（连续谱）{uq(x)}连续谱本征函数正交归一化方程§4.5狄拉克符号归一化方程为：*4.态矢量在具体表象中的表示分立谱情况：考虑表象，的正交归一本征矢为任意态矢按展开是在基矢上的分量由构成在Q表象中的表示。4.5狄喇克符号（续４）*§4.5狄拉克符号基矢的封闭性关系由于态矢是任意的，由上式给出。连续谱情况：基矢用表示(1)封闭性关系：4.5狄喇克符号（续５）§4.5狄拉克符号有分立谱又有连续谱的情况，封闭性关系：例.坐标本征函数的封闭性例.动量本征函数的封闭性4.5狄喇克符号（续６）*§4.5狄拉克符号5.算符在具体表象中的表示4.5狄喇克符号（续４）*§4.5狄拉克符号设算符作用在右矢上得到右矢：设有分立的本征谱，将表象的单位1插入上式基矢左乘上式两边并利用正交归一化条件，得式中是算符在Q表象中的矩阵元*坐标表象中单位1为：可得：进一步有：在x表象中，矩阵元为：可以得到：§4.5狄拉克符号*根据前面定义：设任意右矢,可得：由于任意右矢，所以有：如果是厄米算符，有§4.5狄拉克符号(1)平均值(F为本征值)在Q表象中，用的本征左矢左乘(2)本征值方程：利用基矢的封闭性：4.5狄喇克符号（续８）*§4.5狄拉克符号6.公式的表示上式可写成(3)薛定格方程在表象中，以左乘4.5狄喇克符号（续９）*§4.5狄拉克符号利用封闭性可得4.5狄喇克符号（续1０）*§4.5狄拉克符号*x表象描述与Dirac符号Dirac符号物理量X表象§4.5狄拉克符号哈密顿算符（1）1.算符、的引入令 （4）本征能量（3）4.6线形谐振子与占有数表象*§4.6线性谐振子与占有数表象本征函数（2）则或令（注意）不是厄米算符记4.6线形谐振子与占有数表象（续1）*§4.6线性谐振子与占有数表象（5）证明:4.6线形谐振子与占有数表象（续2）*§4.6线性谐振子与占有数表象2.、的对易关系*将算符x,p用新算符a,a+表示出来代入振子Hamilton量§4.6线性谐振子与占有数表象3.用算符、表示振子Hamilton量4．、的物理意义在坐标表象中，线性谐振子哈密顿算符的本征函数或4.6线形谐振子与占有数表象（续3）*§4.6线性谐振子与占有数表象利用4.6线形谐振子与占有数表象（续4）*§4.6线性谐振子与占有数表象因如果不用具体表象，用Dirac符号表示态