例2：3.6设t=0时，粒子的状态为
ψ(x)=A[sin2kx+(1/2)coskx]
求粒子的平均动量和平均动能。解：可写成单色平面波的叠加比较二式，因单色平面波动量有确定值：或：*从而得：归一化后。|c(pi)|2表示粒子具有动量为pi的几率，于是就可以计算动量和动能的平均值了。*（1）动量平均值（2）动能平均值**2.力学量同时有确定值的条件定理证明：设是和的共同本征函数完全系，则设是任一状态波函数，若算符和具有共同的本征函数完全系，则和必对易。*§3.7算符对易关系、两力学量同时可测的条件、测不准关系逆定理证明：设是的本征函数完全系，则若算符与对易，则（1）（2）为简单起见，先考虑非简并情况。由（1）和（2）式知，和都是属于本征值的本征函数，它们最多相差一个常数因子，即可见，也是的本征方程的解。因此，是的本征函数完全系若算符与对易，则它们具有共同的本征函数完全系*§3.7算符对易关系、两力学量同时可测的条件、测不准关系★若两个力学量算符彼此不对易，则一般说来这两个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性，或者说不能同时测定。★两个算符有共同本征函数系的充要条件是这两个算符彼此对易；在两个力学量算符的共同本征函数所描写的状态中，这两个算符所表示的力学量同时有确定值。或者说两个力学量算符所表示的力学量同时有确定值的条件是这两个力学量算符相互对易。注*§3.7算符对易关系、两力学量同时可测的条件、测不准关系例2：角动量算符和对易，即因此它们有共同的本征函数完备系。同时有确定值。在描述的状态中，在描述的状态中，和可同时有确定值:例1：动量算符彼此对易，它们有共同的本征函数完备系*§3.7算符对易关系、两力学量同时可测的条件、测不准关系例5：彼此不对易，故一般不可能同时有确定值。例4：坐标算符与动量算符不对易，故一般不可同时具有确定值。例3：氢原子的算符彼此对易：它们有共同的本征函数完备系故可同时有确定值:在状态中，*§3.7算符对易关系、两力学量同时可测的条件、测不准关系3.力学量完全集合（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：例2氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：（2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。（3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。例3例1*§3.7算符对易关系、两力学量同时可测的条件、测不准关系4.测不准关系引言由前面讨论表明，两对易力学量算符则同时有确定值；不对易两力学量算符，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。问题两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？不确定度：测量值Fn与平均值F的偏差的大小。*§3.7算符对易关系、两力学量同时可测的条件、测不准关系●测不准关系的严格推导●坐标和动量的测不准关系●角动量的测不准关系设和的对易关系为考虑积分：（再利用力学量算符的厄米性）●测不准关系的严格推导*§3.7算符对易关系、两力学量同时可测的条件、测不准关系由代数中二次定理知，这个不等式成立的条件是系数必须满足下列关系：（称为测不准关系）如果不等于零，则和的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于一正数，这意味着和不能同时测定。*§3.7算符对易关系、两力学量同时可测的条件、