主讲：朱祥荣
湖州师范学院理学院;算符是指作用在一个函数上得到另一函数的运算符号;若两个算符、对体系的任何波函数ψ有;（4）算符乘积;②算符的复共轭算符，由表达中复量换成共轭复量构成。如;即;注：以上各式中的为任意常数，为任意函数。;3.力学量算符;若经典力学中有对应的力学量，该算符的构造步骤为：;写出线谐振子（Hamiltonian）能量算符;（2）力学量算符与力学量测量值的关系;①厄米算符的定义;②厄米算符的性质：;1.动量算符;本征值取连续值。;（2）若粒子处在边长为的立方体内运动，则用所谓箱归一化方法确定常数。;;由归一化条件;（2）由 可以看出，相邻两本征值的间隔与成反比。当足够大时，本征值间隔可任意小；当时，即离散谱→连续谱。;;利用直角坐标与球坐标之间的变换关系，求得偏导数;;（2）L2的本征值问题;此为球面方程（球谐函数方程）。其中是属于本征值的本征函数。利用分离变量法及微分方程的幂级数解法，求球面方程在区域内的有限单值函数解（其求解方法在数学物理方法中已有讲述），可得;球谐函数是属于本征值的本征函数。
是连带勒让德多项式，满足正交条件：;（3）Lz的本征值问题;可见，微观系统的角动量在z方向的分量只能取分离值（零或的整数倍）。由于z方向是任意取定的，所以角动量在空间任意方向的投影是量子化的。;这说明：和有共同的正交归一完备的本征函数——球谐函数。;讨论;即属于本征值的线性独立本征函数共有个。因此,的本征值是度简并的。;1.电子在库仑场中的运动;设;方程（3）是有关径向波函数的微分方程，称为径向方程，由它求出，便可知道，但要求径向方程的解必须先要知道的具体形式。;将库仑势代入径向方程（3??得;满足波函数的连续、单值和有限条件，因此对E没有什么限制，所以的一切值都允许（连续谱）;方程（9）变成;利用幂级数求解微分方程的方法解方程（16）;38;（21）;40;库仑场中运动电子处在束缚态时波函数;讨论:;（2）电子的第n个能级En是n2度简并的;由上面求解过程可以知道，由于库仑场是球对称的，所以径向方程与无关，而与有关。所以，库仑场中电子的能级只与有关，与无关，对简并，这是库仑场所特有的。
;量子力学发展史上最突出的成就之一是对氢原子光谱给予了满意的解释。氢原子是最简单的原子，其Schrodinger方程可以严格求解，氢原子理论也是了解复杂原子及分子结构的基础。;（1）二体问题化为单体问题;波函数;可将上述氢原子的Schrodinger方程在相对坐标和质心坐标下写成形式;;（4）;讨论;（2）基态能;根据波函数的统计解释，利用氢原子的波函数，可求出处于状态中氢原子的电子在核外各处的概率分布。;电子处于方向角为的立体角内的概率;55;力学量算符的本征值方程：;证明:;前面的讨论假定本征值所属的本征函数均不相等，若的本征值是度简并的，则属于的本征函数有个：;;（1）线性谐振子能量算符的本征函数;（3）角动量平方算符的本征函数;以上的讨论假定了本征值为分立谱。若本征值为连续谱，本征函数的正交归一性应写成;1.厄米算符本征函数系的完备性;（1）;2.力学