§4.4简单的三角恒等变换
课标要求能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin2α=2sinαcosα.?
(2)公式C2α：cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
(3)公式T2α：tan2α=2tanα
2.半角公式(不要求记忆)
sinα2=±1?cosα2；cosα2=±1+cosα2；tanα2
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.(×)
(2)半角的正切公式成立的条件是α≠(2k+1)π(k∈Z).(√)
(3)任意角α，sin2α=2sinα都不成立.(×)
(4)cos2α2=12(1+cosα)，cos3α=1-2sin23α2.(
2.cos2π12-cos25π12等于(
A.12 B.33 C.22
答案D
解析因为cos5π12=sinπ2?
所以cos2π12-cos25π12=cos2π12
=cos?π6=3
3.若α为第二象限角，sinα=513，则sin2α等于
答案-120
解析因为α为第二象限角，sinα=513
所以cosα=-1?sin2α=-1?
所以sin2α=2sinαcosα=2×513×?1213
4.已知tan2α=-43，α∈π，3π2，则tanα
答案2
解析由tan2α=2tanα1?tan
得2tan2α-3tanα-2=0，
解得tanα=2或tanα=-12(舍去)
1.熟记常用的部分三角公式
(1)1-cosα=2sin2α2，1+cosα=2cos2α2.(
(2)1±sinα=sinα2±cosα
(3)sin2α=1?cos2α2，cos2α=
tan2α=1?cos2α1+cos2α.
(4)半角正切公式的有理化
tanα2=sinα1+cos
2.运用倍角公式时谨记四个注意点
(1)要注意公式成立的条件；
(2)要注意和、差、倍角的相对性；
(3)要注意升幂、降幂的灵活运用；
(4)要注意“1”的各种变形.
题型一三角函数式的化简
例1(1)1?sin40°+1?cos40°2的化简结果为(
A.-sin20° B.-cos20°
C.cos20° D.sin20°
答案C
解析原式=(sin20°?cos20°)2+1?(1?2sin220°)2=|sin20°-cos20°|+si
(2)化简：cos20°cos40°cos80°=.?
答案1
解析cos20°cos40°cos80°
=sin20°cos20°cos40°cos80°sin20°=
=14sin80°cos80°sin20°=1
积化和差、和差化积公式
在三角函数的化简、求值中，有时可以用和差化积、积化和差公式，把非特殊角转化为特殊角进行计算.
(1)和差化积公式
①sinθ+sinφ=2sin?θ+φ
②sinθ-sinφ=2cos?θ+φ
③cosθ+cosφ=2cos?θ+φ
④cosθ-cosφ=-2sin?θ+φ
(2)积化和差公式
①cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α-β
②sinαsinβ=-12[cos(α+β)-cos(α-β
③sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α-β
④cosαsinβ=12[sin(α+β)-sin(α-β)]
典例化简下列各式：
(1)sin54°-sin18°=；?
(2)cos146°+cos94°+2cos47°cos73°=.
答案(1)12(2)-
解析(1)由和差化积公式可得，
sin54°-sin18°=2cos36°sin18°
=2×2sin18°cos18°cos36°2cos18°=
=sin72°2cos18°=cos18°2cos18°=
(2)由和差化积和积化和差公式可得，
cos146°+cos94°+2cos47°cos73°
=2cos120°cos26°+2×12(cos120°+cos26°
=2×?12cos26°+?1
思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点.
跟踪训练1(1)化简1+sin4α?cos4α1+