*三、向量的混合积第二节一、两向量的数量积二、两向量的向量积数量积向量积*混合积第八章
一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1.定义设向量的夹角为?,称记作数量积(点积).引例.设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F所做的功为
记作故2.性质为两个非零向量,则有?
3.运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;
例1.证明三角形余弦定理证:如图.则设
4.数量积的坐标表示设则当为非零向量时,由于两向量的夹角公式,得
例2.已知三点?AMB.解:则求故
1.定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,??称思考:右图三角形面积S＝二、两向量的向量积
2.性质为非零向量,则∥∥3.运算律(2)分配律(3)结合律(证明略)证明:
4.向量积的坐标表示式设则
向量积的行列式计算法
例3.已知三点角形ABC的面积.解:如图所示,求三
*三、向量的混合积1.定义已知三向量称数量混合积.记作几何意义为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其
2.混合积的坐标表示设
3.性质(1)三个非零向量共面的充要条件是(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)
例6.已知一四面体的顶点4),求该四面体体积.解:已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故
例7.已知A(1,2,0)、B(2,3,1)、C(4,2,2)、四点共面,求点M的坐标x、y、z所满足的方程.解:A、B、C、M四点共面展开行列式即得点M的坐标所满足的方程AM、AB、AC三向量共面即
内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:
混合积:2.向量关系:
思考与练习1.设计算并求夹角?的正弦与余弦.答案:2.用向量方法证明正弦定理:
证:由三角形面积公式所以因
P223,4,6,7,9(1);(2),10,12第三节作业
备用题1.已知向量的夹角且解：
在顶点为三角形中,求AC边上的高BD.解：三角形ABC的面积为2.而故有