第十章第一节定义：例1.讨论等比级数例2.判别下列级数的敛散性:二、无穷级数的基本性质性质2.设有两个收敛级数性质3.三、级数收敛的必要条件注意:*四、柯西审敛原理例6.一、常数项级数的概念引例2.(神秘的康托尔尘集)*目录上页下页返回结束无穷级数无穷级数无穷级数是一种很有用的数学工具常数项级数幂级数常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件*四、柯西审敛原理第十二章给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第n项叫做级数的一般项,级数的前n项和称为级数的前n项部分和.次相加,简记为一、常数项级数的概念则构成了一个新的部分和数列则称无穷级数收敛,当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散.显然并称S为级数的和,记作：(又称几何级数)(q称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为因此级数发散;从而综合1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.不存在,因此级数发散.2)不存在,解:(1)所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和性质1.若级数收敛于S,则各项乘以常数c所得级数也收敛,说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为cS.则级数也收敛,其和为说明:(1)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.(2)但若二级数都发散,收敛性不一定.例如,(用反证法可证)在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.设收敛级数则必有证:可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.的充要条件是:定理.有证:设所给级数部分和数列为因为所以利用数列的柯西审敛原理(第一章第六节),即得本定理的结论.解:有利用柯西审敛原理判别级数当n﹥N时,都有由柯西审敛原理可知,级数作业P2531(1),(3)；2(2),(3),(4)；3(2)；4(1),(3),(5);*5(3),(4)第二节引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0表示即内接正三角形面积,ak表示边数增加时增加的面积,则圆内接正把[0,1]区间三等分,舍弃中间的开区间将剩下的两个子区间分别三等分,并舍弃在中间的开区间,如此反复进行这种“弃中”操作,问丢弃部分的总长和剩下部分的总长各是多少？丢弃的各开区间长依次为故丢弃部分总长剩余部分总长剩余部分总长虽然为0,但康托尔证明了其成员和实数“一样多”,它们象尘埃一样散落在[0,1]区间上,人们称其为康托尔尘集.01(此式计算用到后面的例1)*目录上页下页返回结束****