§3.3导数与函数的极值、最值
课标要求1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题.
1.函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有.(√)
(2)函数的极小值一定小于函数的极大值.(×)
(3)函数的极小值一定是函数的最小值.(×)
(4)函数的极大值一定不是函数的最小值.(√)
2.(多选)如图是函数f(x)的导函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是()
A.函数f(x)在区间(3，5)上单调递减
B.函数f(x)在区间(4，5)上单调递增
C.函数f(x)在x＝3处取得极大值
D.函数f(x)在x＝4处取得极小值
答案AC
解析由图象可知，当x∈(3，5)时，f(x)0，所以函数f(x)在区间(3，5)上单调递减，故A正确，B错误；
由图象可知，f(3)＝0，且当x∈(0，3)时，f(x)0，当x∈(3，5)时，f(x)0，所以f(x)在(0，3)上单调递增，在(3，5)上单调递减，故函数y＝f(x)在x＝3处取得极大值，故C正确；
由图象可知，f(4)≠0，故4不是函数f(x)的极值点，故D错误.
3.函数f(x)＝x3－12x2－14x的极小值点为，极大值为.
答案73
解析由f(x)＝x3－12x2－14x
f(x)＝3x2－x－14＝(x＋2)(3x－7)，
令f(x)0，解得x73或x－2
令f(x)0，解得－2x7
故f(x)在(－∞，－2)，73，
故f(x)在x＝73处取得极小值，在x＝－2
故f(x)极大值＝f(－2)＝－8－2＋28＝18.
4.若函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有两个极值点，则实数a的取值范围是.?
答案(－∞，－6)∪(6，＋∞
解析f(x)＝3x2－2ax＋2，
由题意知f(x)有两个变号零点，
∴Δ＝(－2a)2－4×3×20，
解得a6或a－6.
解题时灵活应用转化以下几个关键点
(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1).
(2)极值是个“局部”概念，最值是个“整体”概念.
(3)有极值的函数一定不是单调函数.
(4)“f(x0)＝0”是“x0为可导函数f(x)的极值点”的必要不充分条件.例如f(x)＝x3，f(0)＝0，但0不是极值点.
(5)对于一般函数而言，函数的最值必在下列各点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、端点.
题型一利用导数求解函数极值问题
命题点1根据函数图象判断极值
例1(多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数g(x)＝xf(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()
A.f(x)有两个极值点
B.f(0)为f(x)的极大值
C.f(x)有两个极小值点
D.f(－1)为f(x)的极小值
答案BC
解析根据g(x)＝xf(x)的图象，可得当x－2时，g(x)＝xf(x)0，可得f(x)0，即f(x)单调递减，
当－2x0时，g(x)＝xf(x)0，可得f(x)0，即f(x)单调递增，
当0x1时，g(x)＝xf(x)0，可得f(x)0，即f(x)单调递减，
当x1时，g(x)＝xf(x)0，可得f(x)0，即f(x)单调递增，
因此f(x)在x＝－2和x＝1处取得极小值，在x＝0处取得极大值，共3个极值点，A错误，C正确；
f(0)为f(x)的极大值，B正确；
f(