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微分方程第三节一阶线性微分方程一、线性方程二、伯努利方程三、小结思考题一、线性方程

二、伯努利方程三、小结*一阶线性微分方程的标准形式:上述方程称为齐次的.上述方程称为非齐次的.例如线性的;非线性的.齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)2.线性非齐次方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:未知函数的变量代换.作变换积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解解例1例2如图所示，平行于轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线两边求导得解解此微分方程所求曲线方程为例3有一个电路如图所示，其中，电源电动势 电阻与电感都是常量，并设 为开关闭合的时刻，求电流解由电学知道，电感上有感应电动势由回路电压定律得这是一阶非齐次线性微分方程应用分部积分法，得在通解中代入初始条件： 得所以得到所求的函数 为将其代入上式并化简，得通解为为了便于说明物理问题，把第二项稍加变形。令：伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.解法:需经过变量代换化为线性微分方程.求出通解后，将代入即得代入上式解例4例5求解微分方程解方程化为这是伯努利方程,且 ,令 则这是一阶线性微分方程，它的通解为以代,即得所求方程的通解为通解1.线性微分方程2.伯努利方程****