基本信息

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文档摘要

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一、费马引理

二、罗尔(Rolle)定理

几何解释:例如,

证

注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,

例1证由零点定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,

三、拉格朗日(Lagrange)中值定理

几何解释:证分析:弦AB方程为

作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.

拉格朗日中值定理的另一证明：作辅助函数因为函数

拉格朗日中值定理又称微分中值定理.定理

例2证

例3证由上式得

四、柯西(Cauchy)中值定理

几何解释:证作辅助函数

柯西中值定理的另一证明：作辅助函数

例4证分析:结论可变形为

四、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.

思考题试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.

思考题解答不满足在闭区间上连续的条件；且不满足在开区间内可微的条件；以上两个都可说明问题.

练习题

练习题答案