第7节离散型随机变量及其分布列、数字特征
考试要求1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.
【知识梳理】
1.离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n)为X的概率分布列，简称分布列.
3.离散型随机变量的分布列的性质
(1)pi≥0(i＝1，2，…，n)；
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
4.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xipi为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差
D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\a\vs4\al(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－E（X））2pi)为随机变量X的方差，并称eq\r(D（X）)为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度.
5.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).
[常用结论与微点提醒]
1.若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量.
2.E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；
D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.()
(2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()
(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.()
(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.()
答案(1)√(2)×(3)√(4)√
解析对于(2)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故不正确.
2.(选修三P63例1改编)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值为()
A.0.2 B.0.4 C.0.8 D.1
答案C
解析某运动员罚球1次的得分为X，X的取值可能为0，1，
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝1)＝0.8，
E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8.
3.(选修三P59例1改编)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X表示一次试验的成功次数，则P(X＝0)＝________.
答案eq\f(1,3)
解析设P(X＝1)＝p，则P(X＝0)＝1－p，
依题意得p＝2(1－p)，解得p＝eq\f(2,3)，
故P(X＝0)＝1－p＝eq\f(1,3).
4.(选修三P70T2改编)随机变量X的可能取值为0，1，2，若P(X＝0)＝eq\f(1,5)，E(X)＝1，则D(X)＝________.
答案eq\f(2,5)
解析设P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，
由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0×\f(1,5)＋p＋2q＝1，,\f(1,5)＋p＋q＝1，))
解得p＝eq\f(3,5)，q＝eq\f(1,5)，
∴D(X)＝eq\f(1,5)×(0－1)2＋eq\f(3,5)×(1－1)2＋eq\f(1,5)×(2－1)2＝eq\f(2,5).
考点一分布列的性质
例1(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X
－1
0
1
P
eq\f(1,2)
1－q
q－q2
则q＝________.
答案eq\f(\r(2),2)
解析由离散型随机变量分布列的性质得
eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1－q＋q－q2＝1，,0≤1－q≤\f(1,2)，,0≤q－q2≤\f(1,2)，))解得q＝eq\f(\r(2),2).
(2)设随机变量X满足P(X＝i)＝eq\f(k,2i)(i＝1，2，3)，则k＝________；P(X≥2)＝________.
答案eq\f(8,7)eq