设F(s)在[s]平面上（除有限个奇点外）为单值的连续正则函数。设[s]平面上解析点s映射到[F(s)]平面上为点F(s)，或为从原点指向此映射点的向量F(s)。在[s]平面上任意选定一封闭曲线Ls，只要此曲线不经过F(s)的奇点，则在[F(s)]平面上必有一对应的映射曲线LF，也是一封闭曲线。当解析点s按顺时针方向沿Ls变化一周时，向量F(s)将按顺时针方向旋转N周，即F(s)以原点为中心顺时针旋转N周，这就等于曲线LF顺时针包围原点N次。第30页，共73页，星期日，2025年，2月5日第31页，共73页，星期日，2025年，2月5日令：Z为包围于Ls内的F(s)的零点数，P为包围于Ls内的F(s)的极点数，则N=Z-P向量F(s)的相位为假设Ls内只包围了F(s)的一个零点zi，其他零极点均位于Ls之外，当s沿Ls顺时针方向移动一周时，向量(s-zi)的相位角变化-2π弧度，而其他各向量的相位角变化为零。即向量F(s)的相位角变化为-2π，或者说F(s)在[F(s)]平面上沿LF绕原点顺时针转了一周。第32页，共73页，星期日，2025年，2月5日若[s]平面上的封闭曲线包围着F(s)的Z个零点，则在[F(s)]平面上的映射曲线LF将绕原点顺时针转Z周。若[s]平面上的封闭曲线包围着F(s)的P个极点，则在[F(s)]平面上的映射曲线LF将绕原点逆时针转P周。若Ls包围着F(s)的Z个零点和P个极点，则在[F(s)]平面上的映射曲线LF将绕原点顺时针转N=Z-P圈。第33页，共73页，星期日，2025年，2月5日二、Nyquist稳定判据设系统的开环传递函数为：系统的闭环传递函数特征方程为：第34页，共73页，星期日，2025年，2月5日F(s)的零点s1,s2…..,sn’即为系统闭环传递函数GB(s)的极点，亦即系统特征方程的根；F(s)的极点p1,p2…..,pn即为系统开环传递函数GK(s)的极点。闭环传递函数开环传递函数GB(s)F(s)GK(s)
零点极点零点极点零点极点相同相同第35页，共73页，星期日，2025年，2月5日定常线性系统稳定的充要条件：其闭环系统的特征方程1+G(s)H(s)=0的全部根具有负实部，即GB(s)在[s]平面的右半平面没有极点，亦即F(s)在[s]平面的右半平面没有零点。Nyquist稳定判据首先选择一条包围整个[s]右半平面的封闭曲线Ls。第36页，共73页，星期日，2025年，2月5日设在[s]右半平面有Z个零点和P个极点，由幅角原理知，当s沿[s]平面上的Nyquist轨迹移动一周时，在[F]平面上的映射曲线LF将绕原点顺时针转N=Z-P圈。由可知，[GH]平面是将[F]平面的虚轴右移一个单位所构成的复平面。[F]平面的坐标原点，就是[GH]平面的（-1，j0）点，F(s)的映射曲线LF包围原点的圈数就等于的映射曲线LGH包围（-1，j0）点的圈数。第37页，共73页，星期日，2025年，2月5日第38页，共73页，星期日，2025年，2月5日这里s→∞是指模而言。所以[s]平面上半径为∞的半圆映射到[GH]平面上为原点或实轴上的一点。由于闭环系统稳定的充要条件是F(s)在[s]平面的右半平面没有零点，即Z=0。所以如果G(s)H(s)的Nyquist轨迹逆时针方向包围（-1，j0）点P圈，则闭环系统稳定。P为G(s)H(s)在[s]平面的右半平面的极点数。第39页，共73页，星期日，2025年，2月5日Nyquist稳定判据：当ω由-∞到+∞变化时，若[GH]平面上的开环频率特性G(jω)H(jω)逆时针方向包围（-1，j0）点P圈，则闭环系统稳定。P为G(s)Hs)在[s]平面的右半平面的极点数。对于开环稳定的系统，有P=0，此时闭环系统稳定的充要条件是，系统的开环频率特性G(jω)H(jω)不包含（-1，j0）点。第40页，共73页，星期日，2025年，2月5日例1P=0N=0Z=