主讲：朱祥荣湖州师范学院理学院第三章量子力学中的力学量不确定关系1
引言由前面讨论表明，两对易力学量算符则同时有确定值；不对易两力学量算符，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。问题两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？不确定度测量值Fn与平均值F的偏差的大小。（1）测不准关系的严格推导（2）坐标和动量的测不准关系（3）角动量的测不准关系（4）测不准关系的应用2§3.7不确定关系
设和的对易关系为1.测不准关系的严格推导3§3.7不确定关系定义F和G的不确定度分别由它们的方均根偏差表示，记作??计算有用公式（1）（2）（3）（4）
4§3.7不确定关系考虑积分：将（4）式代入上式，可得：???（利用力学量算符的厄米性）
如果不等于零，则和的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于一正数，这意味着和不能同时测定。5§3.7不确定关系?（称为测不准关系）由测不准关系看出，若两个力学量算符和不对易，则一般说来与不能同时为零，即和不能同时测定（但注意的特殊态可能是例外），或者说它们不能有共同本征态。反之，若两个厄米算符和对易，则可以找出这样的态，使和同时满足，即可以找出它们的共同本征态。
故有2.坐标和动量的测不准关系表明：和不能同时为零，坐标的均方差越小，则与它共轭的动量的均方偏差越大，亦就是说，坐标愈测量准，动量就愈测不准。6§3.7不确定关系?
3.角动量的测不准关系当粒子处在的本征态时7§3.7不确定关系
4.测不准关系的应用利用测不准关系估算线性谐振子的零点能解：谐振子的能量平均能量：8§3.7不确定关系??根据前面方均根偏差的定义：所以有：?
9§3.7不确定关系?
故所谓零点能即为测不准关系要求的最小能量（零点能）10§3.7不确定关系当这个式中取等号，可得