§5.1平面向量的概念及线性运算
课标要求1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量
平面向量是自由向量
长度(模)
向量的大小
记作|a|或|AB|
零向量
长度为0，其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位长度的向量
与非零向量a共线的单位向量为±a
平行向量
(共线向量)
方向相同或相反的非零向量
0与任意向量平行(或共线)
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算
法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
减法
a-b=a+(-b)
数乘
|λa|=|λ||a|，当λ0时，λa的方向与a的方向相同；
当λ0时，λa的方向与a的方向相反；
当λ=0时，λa=0
设λ，μ为实数，则
λ(μa)=(λμ)a；
(λ+μ)a=λa+μa；
λ(a+b)=λa+λb
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若向量a与b同向，且|a||b|，则ab.(×)
(2)单位向量都相等.(×)
(3)若a=b，b=c，则a=c.(√)
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b=λa，反之成立.(√)
2.下列命题正确的是()
A.零向量是唯一没有方向的向量
B.若|a|=|b|，则a=b或a=-b
C.向量AB与BA是平行向量
D.平行向量不一定是共线向量
答案C
解析A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
B项，|a|=|b|说明a，b的长度相等，不能判断它们的方向，故B错误；
C项，向量AB与BA方向相反，是平行向量，故C正确；
D项，平行向量就是共线向量，故D错误.
3.在△ABC中，AB=3AD，则CD等于()
A.AB-13AC B.AB
C.13AB-AC D.1
答案C
解析∵AB=3AD，∴CD=AD-AC=13AB-
4.已知a，b是两个不共线向量，向量b-ta与12a-32b共线，则实数t=
答案1
解析由题意知，存在实数λ，使得b-ta=λ12a?32b，则
1.熟记平面向量线性运算的常用结论
(1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP=12(OA
(2)在△ABC中，点P满足PA+PB+PC=0?P为△ABC的重心?AP=13(AB
(3)OA=λOB+μOC(λ，μ为实数，点O，B，C不共线)，若A，B，C三点共线，则λ+μ=1.
(4)对于任意两个向量a，b，都有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
2.解决向量的概念问题的两个注意点
(1)不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向.
(2)考虑零向量是否也满足条件，要特别注意零向量的特殊性.
题型一平面向量的基本概念
例1(1)下列四个命题中正确的有()
A.若a∥b，b∥c，则a∥c
B.“a=b”的充要条件是“|a|=|b|且a∥b”
C.若AB=DC，则A，B，C，D四点组成平行四边形
D.与非零向量a共线的单位向量为±a
答案D
解析A不正确，若b=0，则由a∥b，b∥c，无法得到a∥c；B不正确，当|a|=|b|且a∥b时，a，b的方向可能相反，此时a与b是相反向量，即a=-b；当a=b时，a与b的模相等且方向相同，即|a|=|b|且a∥b，故“|a|=|b|且a∥b”是“a=b”的必要不充分条件；C不正确，若AB=DC，则A，B，C，D四点共线或不共线，当四点不共线时，A，B，C，D才能组成平行四边形；D正确，由单位向量和共线向量定义可知与非零向量a共线的单位向量为±a|a|
(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是()
A.AD=BC B.AC=BD
C.PE=PF D.EP=PF
答案D
解析方法一(排除法)
AD，BC不共线，AC，BD不共线，故A，B错误；PE
方法二在等腰梯形ABCD中，AD，BC不平行，AC，BD不平行，故
∵AB∥CD，∴PDPB=CDAB=
∴PBPD=PAPC，则PB+
即BDPD=ACPC，即PDBD
∵EF∥AB，∴PEAB=PDBD=PCAC
∴PE=PF，即P为EF的中点，
∴EP=PF，故C错误，D正确.
思维升华平面向量有关概念的四个