§5.1平面向量的概念及线性运算
课标要求1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量
平面向量是自由向量
长度(模)
向量的大小
记作|a|或|AB|
零向量
长度为0，其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位长度的向量
与非零向量a共线的单位向量为±a
平行向量
(共线向量)
方向相同或相反的非零向量
0与任意向量平行(或共线)
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量
运算
法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：
a＋b＝b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c
＝a＋(b＋c)
减法
a－b＝a＋(－b)
数乘
|λa|＝|λ||a|，当λ0时，λa的方向与a的方向相同；
当λ0时，λa的方向与a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0
设λ，μ为实数，则
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若向量a与b同向，且|a||b|，则ab.(×)
(2)单位向量都相等.(×)
(3)若a＝b，b＝c，则a＝c.(√)
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.(√)
2.下列命题正确的是()
A.零向量是唯一没有方向的向量
B.若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b
C.向量AB与BA是平行向量
D.平行向量不一定是共线向量
答案C
解析A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
B项，|a|＝|b|说明a，b的长度相等，不能判断它们的方向，故B错误；
C项，向量AB与BA方向相反，是平行向量，故C正确；
D项，平行向量就是共线向量，故D错误.
3.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则OA＋OB＋OC
A.OM B.2OM C.3OM D.4OM
答案D
解析如图，连接OM，
在△OAC中，M为AC的中点，所以OA＋OC＝2
在△OBD中，M为BD的中点，所以OB＋OD＝2OM，所以OA＋OB
4.已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta与12a－32b共线，则实数t＝
答案1
解析由题意知，存在实数λ，使得b－ta＝λ12a-32b，则
熟记平面向量线性运算的常用结论
(1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝1
(2)在△ABC中，点P满足PA＋PB＋PC＝0?P为△ABC的重心
(3)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数，点O，B，C不共线)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
(4)对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
题型一平面向量的基本概念
例1(1)下列四个命题中正确的有()
A.若a∥b，b∥c，则a∥c
B.“a＝b”的充要条件是“|a|＝|b|且a∥b”
C.在平行四边形ABCD中，一定有AB
D.若a为平面内的某个向量，a0为单位向量，则a＝|a|a0
答案C
解析A不正确，若b＝0，则由a∥b，b∥c，无法得到a∥c；B不正确，当|a|＝|b|且a∥b时，a，b的方向可能相反，此时a与b是相反向量，即a＝－b；当a＝b时，a与b的模相等且方向相同，即|a|＝|b|且a∥b，故“|a|＝|b|且a∥b”是“a＝b”的必要不充分条件；C正确，平行四边形ABCD对边平行且相等，且AB和DC方向相同，故AB＝DC；D不正确，向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0
(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是()
A.AD＝BC
C.PE＝PF
答案D
解析方法一(排除法)
AD，BC不共线，AC，BD不共线，故A，B错误；PE，PF方向相反，C错误；故选D.
方法二在等腰梯形ABCD中，AD，BC不平行，AC，BD不平行，故A，B错误；
∵AB∥CD，∴PBPD＝PA
即BDPD＝AC
∵EF∥AB，∴PEAB
∴PE＝PF，即P为EF的中点，
∴EP＝PF，故C错误，D
思维升华平面向量有关概念的四个关注点
(1)非零向量的平行具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.
(4)a|a