§5.4平面向量中的综合问题
重点解读平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合.其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等.
题型一平面向量在几何中的应用
例1(1)设P是△ABC所在平面内一点，若AB·(CB＋CA)＝2AB·CP，且AB2＝AC2－2BC·AP，则点P是
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
答案A
解析由AB·(CB＋CA)＝2AB·
得AB·(CB＋CA－2CP)＝
即AB·[(CB－CP)＋(CA－CP
所以AB·(PB＋PA)＝
设D为AB的中点，则AB·2PD＝0，
故AB·PD＝0.
由AB2＝AC2－2
得(AB＋AC)·(AB－AC)＝－2
即(AB＋AC－2AP)·CB＝
设E为BC的中点，则(2AE－2AP)·CB＝0，
则2PE·CB＝0，故CB·PE＝0.
所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，
所以P是△ABC的外心.
(2)△ABC的外心O满足OA＋OB＋2OC＝0，|AB|＝2，则△
A.2＋22 B.1
答案B
解析设AB的中点为D，
则OA＋OB＋2OC＝0可化为
即OC＝－2OD
∴O，D，C三点共线且CD⊥AB，
∴△ABC为等腰三角形，
|OA|2＝|OD|2＋|AD|2，
设△ABC外接圆的半径为R，
则R2＝R2
解得R＝1，CD＝1＋22
∴S△ABC＝12|AB||CD|＝12×2×
思维升华用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题.
跟踪训练1(1)在△ABC中，若OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
答案C
解析∵OA·OB＝OB·
∴OB·(OA－OC)＝0，∴OB·CA＝
∴OB⊥CA，
即OB为△ABC边CA上的高所在的直线.
同理OA·BC＝0，OC·AB＝0，
∴OA⊥BC，OC⊥AB，
故O是△ABC的垂心.
(2)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED的长为.
答案21
解析以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，3)，C(3，3)，D(3，0)，AC＝(3，3)，
设AE＝λAC，则E的坐标为(3λ，3λ)，
故BE＝(3λ，3λ－3).
因为BE⊥AC，所以BE·AC＝0，
即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝14
所以E34
故ED＝94，-34
即ED＝212
题型二和向量有关的最值问题
命题点1与平面向量基本定理有关的最值问题
例2已知OA，OB是两个夹角为120°的单位向量，如图所示，点C在以O为圆心的AB上运动.若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是()
A.2 B.2 C.3 D.3
答案B
解析由题意，以O为原点，OA的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，设C(cosθ，sinθ)，0°≤θ≤120°，
可得A(1，0)，B-1
由OC＝x(1，0)＋y-12，32＝(cosθ，
得x－12y＝cosθ，32y＝sinθ，∴32y＝3sin
∴x＋y＝x-12y＋32y＝cosθ＋3sinθ＝
∵0°≤θ≤120°，∴30°≤θ＋30°≤150°，
∴当θ＝60°时，x＋y的最大值为2，此时C为AB的中点，∴x＋y的最大值是2.
命题点2与数量积有关的最值问题
例3在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则PA·PB的取值范围是()
A.[－5，3] B.[－3，5]
C.[－6，4] D.[－4，6]
答案D
解析方法一(坐标法)
以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(3，0)，B(0，4).
设P(x，y)，则x2＋y2＝1，PA＝(3－x，－y)，PB＝(－x，4－y)，
所以PA·PB＝x2－3x＋y2－4y
＝x-322＋(y－2)
又x-322＋(y－2)2表示圆x2＋y2＝1上一点到点32，2距离的平方，圆心(0，0)到点32，
即PA·PB的取值范围是[－4，6].
方法二(极化恒等式法)
设AB的中点为M，CM与CP的夹角为θ，
由题意知AB＝5，CM＝52
由极化恒等式得PA·PB＝PM2－14AB2＝(CM－CP)2－254＝CM2＋CP2－2CM
因为cosθ∈[－1，1]，
所以PA·PB的取值范围是[－4，6].
命题点3与模有关的最值问题
例4已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|