§5.1平面向量的概念及线性运算
课标要求1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有又有的量?
平面向量是自由向量
长度(模)
向量的?
记作|a|或|AB|
零向量
长度为0，其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位长度的向量
与非零向量a共线的单位向量为±a
平行向量(共线向量)
方向或的非零向量
0与任意向量平行(或共线)
相等向量
长度且方向的向量
两向量不能比较大小
相反向量
长度且方向的向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算
法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：
a＋b＝；?
结合律：
(a＋b)＋c＝?
减法
a－b＝a＋(－b)
数乘
|λa|＝，当λ0时，λa的方向与a的方向；?
当λ0时，λa的方向与a的方向；?
当λ＝0时，λa＝?
设λ，μ为实数，则
λ(μa)＝；?
(λ＋μ)a＝；?
λ(a＋b)＝?
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若向量a与b同向，且|a||b|，则ab.()
(2)单位向量都相等.()
(3)若a＝b，b＝c，则a＝c.()
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.()
2.下列命题正确的是()
A.零向量是唯一没有方向的向量
B.若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b
C.向量AB与BA是平行向量
D.平行向量不一定是共线向量
3.在△ABC中，AB＝3AD，则CD等于()
A.AB－13AC
C.13AB－AC
4.已知a，b是两个不共线向量，向量b－ta与12a－32b共线，则实数t＝
1.熟记平面向量线性运算的常用结论
(1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝1
(2)在△ABC中，点P满足PA＋PB＋PC＝0?P为△ABC的重心
(3)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数，点O，B，C不共线)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
(4)对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
2.解决向量的概念问题的两个注意点
(1)不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向.
(2)考虑零向量是否也满足条件，要特别注意零向量的特殊性.
题型一平面向量的基本概念
例1(1)下列四个命题中正确的有()
A.若a∥b，b∥c，则a∥c
B.“a＝b”的充要条件是“|a|＝|b|且a∥b”
C.若AB＝DC，则A，B，C，
D.与非零向量a共线的单位向量为±a
(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是()
A.AD＝BC
C.PE＝PF
思维升华平面向量有关概念的四个关注点
(1)非零向量的平行具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.
(4)a|a|是与非零向量
跟踪训练1(1)(多选)下列关于向量的说法正确的是()
A.若|a|＝0，则a＝0
B.若a，b同向，且|a||b|，则ab
C.对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|
D.若a∥b，则存在唯一实数λ，使a＝λb
(2)在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1).
①是共线向量的有；?
②方向相反的向量有；?
③模相等的向量有.?
题型二平面向量的线性运算
命题点1向量加、减法的几何意义
例2若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
命题点2向量的线性运算
例3(2025·广州模拟)在平行四边形ABCD中，点E满足AE＝14AC，则BE
A.34AB－14
C.AB－14AD
命题点3根据向量线性运算求参数
例4(2024·宁波统考)在△ABC中，AD＝23AC，BP＝13BD，若AP＝λAB＋μAC(λ，μ∈
A.3 B.13
C.32 D.
思维升华平面向量线性运算的解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求