§8.8抛物线
课标要求1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用.
1.抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的.
注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线.
2.抛物线的标准方程和简单几何性质
标准
方程
y2＝2px
(p0)
y2＝－2px
(p0)
x2＝2py
(p0)
x2＝－2py
(p0)
图形
范围
x≥0，
y∈R
x≤0，
y∈R
y≥0，
x∈R
y≤0，
x∈R
焦点
准线
方程
对称
轴
顶点
离心
率
e＝?
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.()
(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1，0).()
(3)标准方程y2＝2px(p0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离.()
(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p0)，也可以写成y＝ax2(a≠0)，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的.()
2.(多选)关于抛物线y2＝－2x，下列说法正确的是()
A.开口向左 B.焦点坐标为(－1，0)
C.准线为x＝1 D.对称轴为x轴
3.(2024·驻马店模拟)已知点P(6，y0)在焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p0)上，若|PF|＝152，则p等于(
A.3 B.6 C.9 D.12
4.(2024·宝鸡模拟)抛物线y2＝2px(p0)过点A(2，2)，则点A到抛物线准线的距离为.
抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则
(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p
(2)弦长|AB|＝x1+x2+p＝2psin2α(α
(3)1|FA|+1
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦；
(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
题型一抛物线的定义及应用
例1(1)(2025·东北三省精准教学联考)已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，若抛物线上一点M满足|MF|＝2，∠OFM＝60°，则p等于()
A.3 B.4 C.6 D.8
(2)记抛物线E：y2＝4x的焦点为F，点A在E上，B(2，1)，则|AF|+|AB|的最小值为()
A.2 B.3 C.4 D.5
延伸探究本例(2)中，点B坐标改为(2，3)，点A到准线的距离为d，求|AB|+d的最小值.
思维升华“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.
跟踪训练1(1)(2024·贵阳模拟)抛物线y2＝4x上一点M到焦点的距离是10，则M到x轴的距离是()
A.4 B.6 C.7 D.9
(2)已知点P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到直线l：x＝1的距离为d1，到直线x+y－4＝0的距离为d2，则d1+d2的最小值是()
A.52 B.522
题型二抛物线的标准方程
例2(1)若抛物线过点(3，－4)，则抛物线的标准方程为.
(2)“米”是象形字，数学探究课上，某同学用抛物线C1：y2＝－2px(p0)，C2：y2＝2px(p0)构造了一个类似“米”字形的图案，如图所示，若抛物线C1，C2的焦点分别为F1，F2，点P在抛物线C1上，过点P作x轴的平行线交抛物线C2于点Q，若|PF1|＝2|PQ|＝8，则p等于()
A.4 B.6 C.8 D.12
思维升华求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法.
(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论.
跟踪训练2(1)动点P到点A(0，2)的距离比它到直线l：y＝－4的距离小2，则动点P的轨迹方程为()
A.y2＝4x B.y2＝8x
C.x2＝4y D.x2＝8y
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上且位于第一象限，AB⊥l于点B，若|AF|＝|BF|＝4，则抛物线C的标准方程为.
题型三抛物线的几何性质
例3(1)若抛物线y2＝2px(p0)上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是()
A.p1 B.p1 C.p2 D.p2
(2)(多选)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)