培优点3泰勒展开式
1.泰勒公式
如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对?x∈(a，b)，
有f(x)=f(x0)+f(x0)1！(x-x0)+f(x0)2！(x-x0)2+…+f
其中f(n)(x0)表示f(x)在x=x0处的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x=x0处的n阶泰勒展开式.
2.麦克劳林公式
f(x)=f(0)+f(0)1！x+f(0)2！x2+
虽然麦克劳林公式是泰勒公式的特殊形式，仅仅是取x0=0的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及.
3.常见函数的麦克劳林展开式(o(xn)是xn的高阶无穷小量)
(1)ex=1+x+x22！+…+xnn！+
(2)sinx=x-x33！+x55！-…+(-1)n-1x2n?1(2
(3)cosx=1-x22！+x44！-x66！+…+(-1)nx2
(4)ln(1+x)=x-x22+x33-…+(-1)n-1xnn
(5)11?x=1+x+x2+…+xn+o(x
(6)(1+x)α=1+αx+α(α?1)2！x2+…+α(α?1)…(
4.两个超越不等式(注意解答题需先证明后使用)
(1)对数型超越放缩：x?1x≤lnx≤x-1(x
(2)指数型超越放缩：x+1≤ex≤11?x(x1
题型一比较大小
例1(1)已知a=ln1.01，b=1.0130e，c=1
A.abc B.acb
C.cba D.cab
答案D
解析由x?1x≤lnx≤x
ln1.011.01?11.01=1101=
∴ac，
ln1.011.01-1=0.01=1100
又b=1.0130e1.0130×3=1.0190
∴ba，故bac.
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)设a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9
A.abc B.cba
C.cab D.acb
答案C
解析b=19≈0.111
由公式ex=1+x+x22！+
可得e0.1≈1+0.1+0.12
则a=0.1e0.1≈0.1105，
c=-ln0.9=ln109=ln1+
由公式ln(1+x)=x-x22+x3
得c=ln1+19≈19-19
所以cab.
思维升华涉及比较大小的问题，如果其中同时含有指数式、对数式和多项式，可考虑利用泰勒展开式解决问题，特别注意结合赋值法，利用如下超越不等式或其变形公式解决问题：x?1x≤lnx≤x-1(x0)，x+1≤ex≤11?x(
跟踪训练1(1)已知a=e0.02，b=1.02，c=ln2.02，则()
A.cab B.abc
C.acb D.bac
答案B
解析设x=0.02，则a=e0.02=1+0.02+0.0222
显然ab1c.
(2)(2022·全国甲卷)已知a=3132，b=cos14，c=4sin
A.cba B.bac
C.abc D.acb
答案A
解析根据题意，构造函数f(x)=1-x2
g(x)=cosx，h(x)=sinx
则a=f?14，b=g14，c=h
由于14较小，所以对g(x)，h(x)在x=0
g(x)=1-x22！+x44！+o
h(x)=1-x23！+x45！+o(
显然，在x=14时，a=f?14b=g1
=h14，故abc
题型二证明不等式
例2给出以下三段材料：
①若函数f(x)的导数为f(x)，f(x)的导数叫做f(x)的二阶导数，记作f″(x).类似地，二阶导数f″(x)的导数叫做f(x)的三阶导数，记作f(3)(x)，三阶导数f(3)(x)的导数叫做f(x)的四阶导数，…，一般地，n-1阶导数的导数叫做f(x)的n阶导数，即f?(n)(x)=[f?(n-1)(x)]，n≥4；
②若n∈N*，定义n！=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1；
③若函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内具有n+1阶导数，那么对于?x∈(a，b)，有f(x)=f(x0)+f(x0)1！(x-x0)+f(x0)2！(x-x0)2+f(3)(x0)3！(x-x0)3+…+f(n)(x0)n！(x-x0)n+o((x-x0)n)，我们称上式为函数f(x)在x=x0处的n阶泰勒展开式，其中o((x-x0)n)为(x-x0)n的高阶无穷小量.例如，y
根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求f1(x)=cosx，f2(x)=sinx在x=0处的3阶泰勒展开式；
(2)在(1)的条件下，记g1(x)=f1(0)+f1(0)1！x+f″1(0)2！x2+f1(3)(0)3！x
(3)证明：ex+sinx+cosx≥2+2x.
(1)解f1(x)=cosx，则有f1(x)=-sinx，
f″1(x)=-cosx