必刷大题20概率与统计
(分值：60分)
1.(13分)(2024·长沙模拟)要获得某项英语资格证书必须依次通过听力和笔试两项考试，只有听力成绩合格时，才可以继续参加笔试考试.已知听力和笔试各自允许有一次补考机会，两项成绩均合格方可获得证书.现某同学参加这项证书考试，根据以往模拟情况，听力考试成绩每次合格的概率均为23，笔试考试成绩每次合格的概率均为1
(1)求他不需要补考就可获得证书的概率；(3分)
(2)求他恰好补考一次就获得证书的概率；(4分)
(3)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求参加考试次数ξ的分布列和期望.(6分)
解(1)设“听力第一次考试合格”为事件A1，“听力补考合格”为事件A2，“笔试第一次考试合格”为事件B1，“笔试补考合格”为事件B2.
不需要补考就获得证书的事件为A1B1，注意到A1与B1相互独立，则P(A1B1)=P(A1)×P(B1)=23×12=
(2)恰好补考一次的事件是A1A2B1+A1B1B
则P(A1A2B1+A1B1B2)=P(A1A2B1)+P(A1B1B2)=13×23×12+2
(3)由已知得，ξ=2，3，4，
注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得
P(ξ=2)=P(A1B1)+P(A1A2)=23×12+1
P(ξ=3)=P(A1B1B2)+P(A1B1B2)+P(A1A2B1)=23×12×12+23×12×
P(ξ=4)=P(A1A2B1B2)+P(A1A2B1B2)=13×23×12×12+
ξ的分布列为
ξ
2
3
4
P
4
4
1
所以参加考试次数ξ的期望E(ξ)=2×49+3×49+4×19
2.(15分)(2024·安康模拟)某农场收获的苹果按A，B，C三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且A，B，C三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1.
(1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率；(7分)
(2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望.(8分)
解(1)设事件M=“至少选到2箱A级苹果”，
由题意知选到1箱A级苹果的概率为610=35，选到1箱非A级苹果的概率为3+110
所以P(M)=C32352×251+C
故至少选到2箱A级苹果的概率为81125
(2)因为用按比例分配的分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，
所以A级苹果有6箱，B，C级苹果共有4箱，
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X=0)=C60C43
P(X=1)=C61C42
P(X=2)=C62C41
P(X=3)=C63C40
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
1
3
1
1
E(X)=0×130+1×310+2×12+3×1
3.(15分)随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛，某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.该人机交互软件测试阶段，共测试了1000个问题，测试结果如下表：
回答正确
回答错误
问题中存在语法错误
100
300
问题中没有语法错误
500
100
结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题.
(1)测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率；(7分)
(2)现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为X，求X的分布列.(8分)
解(1)记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“回答正确”为事件B，
由测试结果知P(A)=35，P(B|A)=5
P(A)=25，P(B|A)=1
所以P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)=14×25+56×3
记“测试的2个问题都回答正确”为事件M，“测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误”为事件N，则P(M)=352=
P(MN)=P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)×2=35×56×25×14
所以P(N|M)=P(MN)
(2)由(1)可得X~B3，35，则X的可能取值为0，1，2
所以P(X=0)=253=
P(X=1)=C31×35×2
P(X=2)=C32×352×
P(X=3)=353=
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
8
36
54
27
4.(17分)(2025·盐城模拟)某学校有A，B两个餐厅，经统计发现，该校同学在第一天就餐时会随机地选择一个餐厅用餐.此后，如果某同学某天去A餐厅，那么该同学下一天还