训练23空间图形的表面积、体积[分值：65分]
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.(2024·洛阳模拟)如图，△OAB是△OAB的直观图，则△OAB是()
A.正三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.以上都有可能
答案C
解析因为∠xOy＝45°，则线段AB与y轴必相交，令交点为C，如图(1)所示，
在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，可得OA＝OA，点C在y轴上，可得OC＝2OC，
如图(2)所示，因此点B必在线段AC的延长线上，
所以∠BOA∠COA＝90°，
所以△OAB是钝角三角形.
2.已知圆锥的侧面积等于18π，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为()
A.1 B.32 C.3 D.
答案C
解析设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，
∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，
∴πl＝2πr，∴l＝2r，
∵圆锥的侧面积为18π，即12πl2＝18π
∴l＝6，则r＝3.
3.(2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为()
A.212 B.312 C.24
答案A
解析如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝2.连接OO1，则OO1⊥平面ABC，
OO1＝1-AB
所以三棱锥O－ABC的体积V＝13S△ABC×OO1＝13×12×1×1
4.(2024·朝阳模拟)如图，圆台内有一个球，该球与圆台的侧面和底面均相切.已知圆台的下底面圆心为O1，半径为r1，圆台的上底面圆心为O2，半径为r2(r1r2)，球的球心为O，半径为R，记圆台的表面积为S1，球的表面积为S2，则S1S2的可能取值为
A.π2 B.32 C.π
答案A
解析如图，作出圆台的轴截面，作DF⊥BC，垂足为F，
由题意知圆O与梯形ABCD相切，
则DC＝DE＋CE＝O2D＋O1C＝r2＋r1，
又DC＝DF
故4R2＋(r1-
化简可得R2＝r1r2，
则S
＝r
2r1r22r1r2
由于32，π3，43
故S1S2
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与圆柱形包装盒侧面及上下底面都相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为R，球形巧克力的半径为r，每个球形巧克力的体积为V1，包装盒的体积为V2，则()
A.R＝3r B.R＝6r
C.V2＝9V1 D.2V2＝27V1
答案AD
解析由截面图可以看出，圆柱的底面直径是球形巧克力直径的3倍，即可得R＝3r，
圆柱的高等于球形巧克力的直径，即h＝2r，
V1＝4πr33，V2＝πR2h＝18π
则有2V2＝27V1.
6.正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，则下列说法正确的是()
A.该正六棱台的上底面积是63cm2
B.该正六棱台的侧面积是15cm2
C.该正六棱台的表面积是(603＋2421)cm2
D.该正六棱台的高是3cm
答案ACD
解析如图，在正六棱台ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，
因为A1B1＝2cm，AB＝6cm，AA1＝5cm，
所以侧面的梯形ABB1A1的高即正六棱台斜高为
52-6-22
所以梯形ABB1A1的面积为
S＝12×(2＋6)×21＝421(cm2)
故正六棱台的侧面积为
6S＝6×421＝2421(cm2)，故B错误；
由图可知该正六棱台的上底面积为6个边长为2的等边三角形组成，
所以该正六棱台的上底面积为
S1＝6×12×2×2×sin60°＝63(cm2)，故A
同理下底面积为
S2＝6×12×6×6×sin60°＝543(cm2)
所以该正六棱台的表面积是
6S＋S1＋S2＝(603＋2421)cm2，故C正确；
正六棱台的高为OO1＝52-(6-2)2＝3(cm)
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.球O的表面上有五个点P，A，B，C，D恰好构成正四棱锥P－ABCD，若该棱锥的高为8，底面边长为42，则球O的表面积为.?
答案100π
解析正四棱锥P－ABCD的底面是正方形，底面边长为42，高为8，如图所示，
所以正四棱锥P－ABCD的底面对角线的长为42×2＝8，
设正四棱锥外接球的半径为R，则R2＝(8－R)2＋42，解得R＝5，
所以球O的表面积为S＝4πR2＝4π×25＝100π.
8.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝5，点E是棱CC1上的一个动点，若平面BED1交棱AA1于点F，则四棱锥B1－BED1F的体积