对策问题
研究这种竞赛策略数学分支，叫作博弈论，也叫对策论，它是运筹学中一部分
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专题简析：
同学们都熟悉“田忌与齐王赛马”故事，这个故事给我们启示是：田忌采取了“扬长避短”策略，取得了胜利。
生活中许多事物都蕴含着数学道理，人们在竞赛和争斗中总是玩游戏，大至体育比赛、军事较量等，人们在竞赛和争斗中总是希望自己或自己所在一方获取胜利，这就要求参加竞争双方都要制订出自己策略，这就是所谓“知己知彼，百战不殆”。哪一方策略更胜一筹，哪一方就会取得最终胜利。
处理这类问题普通采取逆推法和归纳法。
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智取火柴
在数学游戏中有一类取火柴游戏，它有很各种玩法，因为游戏规则不一样，取胜方法也就不一样。但不论哪种玩法，要想取胜，一定离不开用数学思想去推算。
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例1桌子上放着60根火柴，甲、乙二人轮番每次取走1～3根。要求谁取走最终一根火柴谁获胜。假如双方都采取最正确方法，甲先取，那么谁将获胜？
分析与解：本题采取逆推法分析。获胜方在最终一次取走最终一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根，此时不论对方取1，2或3根，获胜方都能够取走最终一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方4根，在倒数第三次取时，必须留给对方8根……由此可知，获胜方只要每次留给对方都是4倍数根，则必胜。现在桌上有60根火柴，甲先取，不可能留给乙4倍数根，而甲每次取完后，乙再取都能够留给甲4倍数根，所以在双方都采取最正确策略情况下，乙必胜。
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在例1中为何一定要留给对方4倍数根，而不是5倍数根或其它倍数根呢？关键在于要求每次只能取1～3根，1＋3＝4，在两人紧接着两次取火柴中，后取总能确保两人取总数是4。利用这一特点，就能分析出谁采取最正确方法必胜，最正确方法是什么。由此出发，对于例1各种改变，都能分析出谁能获胜及获胜方法。
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例2在例1中将“每次取走1～3根”改为“每次取走1～6根”，其余不变，情形会怎样？
分析与解：由例1分析知，只要一直留给对方（1+6=）7倍数根火柴，就一定获胜。因为60÷7＝8……4，所以只要甲第一次取走4根，剩下56根火柴是7倍数，以后总留给乙7倍数根火柴，甲必胜。
由例2看出，在每次取1～n根火柴，取到最终一根火柴者获胜要求下，谁能做到总给对方留下（1+n）倍数根火柴，谁将获胜。
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例3将例1中“谁取走最终一根火柴谁获胜”改为“谁取走最终一根火柴谁输”，其余不变，情形又将怎样？
解：最终留给对方1根火柴者必胜。按照例1中逆推方法分析，只要每次留给对方4倍数加1根火柴必胜。甲先取，只要第一次取3根，剩下57根（57除以4余1），以后每次都将除以4余1根数留给乙，甲必胜。
由例3看出，在每次取1～n根火柴，取到最终一根火柴者为输要求下，谁能做到总给对方留下（1＋n）倍数加1根火柴，谁将获胜。
有许多游戏即使不是取火柴形式，但游戏取胜方法及分析思绪与取火柴游戏完全相同。
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例4两人从1开始按自然数次序轮番依次报数，每人每次只能报1～5个数，谁先报到50谁胜。你选择先报数还是后报数？怎样才能获胜？
解：对照例1、例2能够看出，本例是取火柴游戏变形。因为50÷（1＋5）＝8……2，所以要想获胜，应选择先报，第一次报2个数，剩下48个数是（1＋5＝）6倍数，以后总把6倍数个数留给对方，必胜。
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例51111个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮番向右移动棋子，每次移动1～7格。要求将棋子移到最终一格者输。甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？
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分析与解：本例是例3变形，但应注意，一开始棋子已占一格，棋子右面只有1111-1＝1110（个）空格。由例3知，只要甲一直留给乙（1+7=）8倍数加1格，就可获胜。
（111-1）÷（1＋7）＝138……6，
所以甲第一步必须移5格，还剩下1105格，1105是8倍数加1。以后不论乙移几格，甲下次移格数与乙移格数之和是8，甲就必胜。因为甲移完后，给乙留下空格数永远是8倍数加1。
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例6今有两堆火柴，一堆35根，另一堆24根。两人轮番在其中任一堆中拿取，取根数不限，但不能不取。要求取得最终一根者为赢。问：先取者有何策略能获胜？
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分析与解：本题即使也是取火柴问题，但因为火柴堆数多于一堆，故本题获胜策略与前面例题完全不一样。
先取者在35根一堆火柴中取11根火柴，使得取后剩下两堆火柴数相同。以后不论对手在某一堆取几根火柴，你只须在另一堆也取一样多根火柴。只要对手有火柴可取，你也有火柴可取，也就是说，最终一根火柴总会被你拿到。这么先取者总可获胜。
请同学们想一想，假如在上面玩法中，两堆火柴数目一开始就相同，比如两堆都是35根火柴，那么先取者还能获胜吗？
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例7有3堆火柴，分别有1根