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辅导讲义
学员姓名：年级：高二、高三课时数：3
辅导科目：数学学科教师：贺老师讲义审核：
授课主题
函数零点、恒成立与存在性问题
教学目标
1、复习函数图像的几种典型画法、特别是利用导数方法画图
2、学会函数零点、最值、曲线交点个数的求法
教学重难点
重点：复杂函数的图像画法
难点：分析讨论含参数零点、极值个数的讨论
教学内容
同学们有没有思考过一个问题，正弦函数，在非特殊值的情况下我们并没有办法进行计算，也就是说我们无法使用描点法画出精确的图像，那么电脑到底是怎么画出它的函数图像呢？要回答这个问题，请同学们先来观察下面两个函数图像：
上图为的图像
上图为的图像
上图为的图像
我们会发现，这样一个无法用加减乘除运算计算（称为“超越函数”）极其不规则的函数，在某一段范围（）内，它的图像和这样的有限有理数计算的代数式几乎重合，也就是说，我们可以通过几次有理数计算（利用计算器更为快捷）便能得到正弦函数的近似值。这种“化曲为直”、“无限逼近”的思想，正是历史上导数的由来（详见“泰勒展开”）。
1．函数的零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的________．
(2)函数有零点的几个等价关系：
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴________?函数y＝f(x)________．
由此可知，求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的________．一般地，对于不能用公式求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与________联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．
2．函数的零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有________，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈________，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
3．函数的零点与单调性的关系
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上有零点，并且是严格单调的函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]内仅有唯一零点。
4.恒成立问题
不等式恒成立问题常见处理方法：
①分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；
②数形结合(图象在上方即可)；
③讨论最值或恒成立；
④讨论参数.
【利用导数研究函数零点】
1．（2021春?沈阳期中）函数f（x）＝2x3﹣6x+m有三个零点，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣4，4） B．[﹣4，4]
C．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
2．（2021秋?四川月考）已知函数f（x）＝lnx﹣x+a恰有两个零点，则a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，1） C．（﹣1，+∞） D．（1，+∞）
3．（2021秋?裕安区校级月考）若函数f（x）＝ex﹣ax2（a∈R）在（0，+∞）有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）
A．（e22，+∞） B．（e2，+∞） C．（e4，+∞）
4．（2021秋?保定月考）若函数f（x）＝2lnx﹣x2+m在[1e，
A．1 B．e C．1e2+1
5．（2021?南岗区校级三模）已知函数f（x）=xex+1，(x≤0)x?lnx?2，(x＞0)，若函数y＝f（x
A．(?∞，1?1e)
C．(?1，1?1e)
6．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【总结】利用导数研究函数零点或方程根的方法
（1）通过最值（极值）判断零点个数的方法.
借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围.
（2）数形结合法求解零点.
对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图，数形结合确定其中参数的范围.
【利用导数讨论恒成立问题】
1．函数，函数，它们的定义域均为，并且函数的图象始终在函数图象的上方，那么的取值范围是（）
A． B． C． D．
2．（2021·全国高三其他模拟）已知函数，，若对恒成立，则的取值范围是（）
A． B．
C． D．
3．已知对，不等式恒成立，则实数的最小值是（）
A． B． C． D．
4．若存在，使得不等式成立，则实数的最大值为（）
A．e B．