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策略二十二妙取极限，速解函数最值、范围问题
极限思想是用极限的概念分析问题、解决问题的一种数学思想，所谓极限，通俗理解即本来取不到，但假设取到并研究此时的情况，可以提供解题思路，出奇制胜，快速找到答案．
【母题1】（2025*河南模拟）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是______．
【答案】
【技法指导】方法一：导数法
由函数在上单调递增，
可得在上恒成立，
则，即关于的不等式在上恒成立
[点技巧：将函数的单调性转化为导函数值的范围，“分离变量”即可求解].
易知（为参数，）在上单调递增，
所以当时，，所以．
因为，所以，故，即，
又，故，
即实数的取值范围是．
方法二：极限法
当时[极限思想：由优先考虑的两种极限情况]，
函数（为参数，）单调递减，且递减速度很快，
曲线趋近于一条直线，则函数在上存在单调递减区间，不符合题意；
当时，曲线趋近于一条直线，曲线趋近于曲线，
则函数在上单调递增，符合题意．
函数在上单调递减，且越来越缓慢，
函数在上单调递增，且越来越快速，
所以只要“起点”定好，即在处，图象的切线斜率的绝对值大于等于图象的切线斜率绝对值即可，
即，即，
所以，即，又，故．
故实数的取值范围是．
【再练一个】
（2025*江西贵溪模拟）
1．已知，若函数有两个不同的零点，则a的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【母题2】（2025*安徽模拟）设，若为函数的极大值点，则______．（填“＞”“”“=”）
【答案】＞
【技法指导】方法一：分类讨论
若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故，
则有和两个不同的零点，且在附近的左右两侧不变号，在附近的左右两侧变号
[规律点睛：对于函数，，若为偶数，则函数值在附近的左右两侧不变号；若为奇数，则函数值在附近的左右两侧变号]．
依题意，为函数的极大值点，所以在附近的左右两侧都是小于0的．
当时，由，，作出的大致图象如图1所示，
由图可知，故．
当时，由，，作出的大致图象如图2所示，
由图可知，故．
综上所述，故．
方法二：极限法
因为为函数的极大值点，
所以在附近的左右两侧均有．
当，时，，，，所以
[极限思想：此处用到高等数学里面的“极限的局部保号性（极限存在或连续的函数在局部范围内函数值的符号保持恒正或恒负）”，同学们可以结合连续函数的图象联想得到]，
即.
同理，当，时，，，所以，
即.
综上所述．
【再练一个】
（2025*广东模拟）
2．函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【母题3】（2025*广东广州模拟）若当时，恒成立，则的取值范围为______．
【答案】
【技法指导】方法一：放缩法
易知．
由
[点技巧：利用切线放缩不等式实现快速解题]（当且仅当时等号成立）得，．
当，即时，在上恒成立，
所以在上单调递增，又，所以当时，．
由（）可得（），则当时，
，易知当时，
，则，所以在上单调递减，
又，所以当时，，不合题意．
综上，所以的取值范围为．
方法二：极限法??
当时，．
当时，等价于．
令（），则（），
令（），则，
[点技巧：为的导函数，注意多次求导的灵活运用]，
则在上单调递增，所以，所以在上单调递增，
则，所以，则在上单调递增．
由洛必达法则知
[极限思想：探求当时的函教值，洛必达法则是关键]，
故．
综上，的取值范围为.
【再练一个】
（2025*重庆模拟）
3．已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为．
【母题4】（2025*山西模拟）在锐角中，内角，，的对边分别为，，．若，，则的取值范围为______．
【答案】
【技法指导】方法一：利用三角函数性质
设锐角的外接圆半径为，则．
令，则
[点技巧：通过正弦定理边化角，利用角的范围与三角函数的有界性是解决此类问题的通法]，
在锐角中，，所以
.
在锐角中，，，所以，
则，所以，所以，
故的取值范围为．
方法二：极限法
在锐角中，，，．
考虑极限情况：当时，易得，，所以；
当时，易得，，所以．
[极限思想：在锐角中，为定值，要求的是的取值范围，联想大边对大角，可考虑利用极限思想求解．当为直角时，最大，最小，取最小值；当为直角时，最大，最小，取最大值．据此求解，注意临界值的取舍].
所以的取值范围为
【再练一个】
（2025*河北模拟）
4．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，则周长的取值范围为．
（2025*江西模拟）
5．设函数，若，则的最大值为（????）
A． B． C． D．1
（20