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2025届天津市耀华中学高三二模数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设全集，集合，则
A． B． C． D．
2．数列中，“对任意且都成立”是“是等比数列”的（????）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（????）
A． B．
C． D．
4．某地组织全体中学生参加了主题为“强国之路”的知识竞赛，随机抽取了2000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（????）
A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有750人
B．直方图中的值为0.020
C．估计全校学生成绩的中位数为87
D．估计全校学生成绩的样本数据的分位数约为90
5．已知，则（????）
A． B． C． D．
6．已知在三棱锥中，，，则三棱锥的体积为（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．设函数在区间恰有三个极值点?两个零点，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
8．设双曲线的左、右焦点分别为，，坐标原点为，第一象限的点在双曲线上，连接并延长交双曲线另一点，若，则（???）
A． B．8 C． D．
9．已知函数定义为：，若函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
二、填空题
10．若复数是纯虚数（是虚数单位），则实数的值为.
11．已知直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是.
12．展开式中的系数为.
13．数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：.记数列的前项和为，则：.
14．已知一批零件是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的、、.已知三人生产产品的次品率分别为、、，现从这批零件中任取一个零件，则它是次品的概率为.
15．如图，在等腰梯形中，，，F为的中点，点P在以A为圆心，为半径的圆弧上变动，E为圆弧与的交点．若，其中，则的取值范围是．
??
三、解答题
16．已知向量，设函数.
（1）求在上的最值；
（2）在中，分别是角的对边，若，的面积为，求的值.
17．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面为的中点，.
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)设为的中点，求平面与平面的夹角余弦值.
18．对于无穷数列和函数，若，则称是数列的生成函数.
(1)定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足.
（Ⅰ）求证：是数列的生成函数；
（Ⅱ）求数列的前n项和.
(2)已知是数列的生成函数，且.若数列的前n项和为，求证：（，）.
19．已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同的两点M，N.
(1)求曲线的方程；
(2)若以线段为直径的圆经过点.
①求证：直线过定点，并求出的坐标；
②求三角形面积的最大值.
20．已知函数的定义域为，若在上单调递增，则称为“强增函数”.
(1)若是“强增函数”，求的取值范围；
(2)若为“强增函数”，且.当时，比较与的大小，并说明理由；
(3)已知，，，.证明：.
参考结论：当时，.
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《2025届天津市耀华中学高三二模数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
D
A
C
C
A
B
C
C
D
1．D
【详解】试题分析：集合表示函数的值域，所以，集合表示函数
的定义域，所以，在数轴上表示出集合与，可以看出，则，选D
考点：1.函数的值域；2.集合的运算；
2．A
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】易知“是等比数列”能推出“对任意且都成立”.
当时，若，满足，此时不是等比数列.
故“对任意且都成立”是“是等比数列”的必要不充分条件，
故选：A.
3．C
【分析】对各选项的单调性与函数值的情况一一判断，利用排除法即可得解；
【详解】对于A：，当时，，故排除A；
对于B：当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，故