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北京市第十二中学2024-2025学年高一下学期3月练习数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量，，则（????）
A． B． C．3 D．5
二、多选题
2．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（????）
A． B．
C． D．
三、单选题
3．已知角的终边与单位圆交于点，则（????）
A． B． C． D．
4．在中，已知，，三边分别对应，，三角，，，，则（????）
A．3 B． C． D．
5．向量，，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若为与同方向的单位向量，则（????）
A．1.5 B．2 C．-4.5 D．-3
6．在中，为的重心，满足，则（????）
A． B． C． D．
7．已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（????）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．若，，，，则（????）
A． B． C． D．
9．若不共线的两个向量，满足，则下列结论一定正确的是（????）
A． B．
C． D．
10．向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题：
①集合是“凸集”；
②若为“凸集”，则集合也是“凸集”；
③若，都是“凸集”，则也是“凸集”；
④若，都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”．
其中，所有正确的命题的序号是（????）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
四、填空题
11．已知向量，，若，则实数．
12．已知，，则．
13．已知角为第二象限角，且，则．
14．已知为所在平面内一点，满足，且，，设为向量的夹角，则；．
15．乾坤八卦由乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八个卦象组成，分别代表天、地、雷、风、水、火、山、泽八种自然现象．如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列命题：
??
①；
②；
③在上的投影向量为；
④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4．
其中正确命题的序号是．
五、解答题
16．在中，．
(1)求的大小；
(2)若，再从条件①、条件②中任选一个作为已知，求的值．
条件①：的面积为；
条件②：.?????????????????
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
17．如图，在梯形中，，，，为线段的中点，记，．
(1)用，表示向量；
(2)求的值；
(3)求与夹角的余弦值．
18．已知函数．
(1)求的单调递减区间；
(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19．已知向量，．
(1)求与平行的单位向量的坐标；
(2)设，，若存在，使得成立，求的取值范围．
20．如图，已知是边长为2的正三角形．如图，、是边的两个四等分点．
(1)求的值；
(2)若为线段上一点，且，求实数的值；
(3)若为线段上的动点，求的最小值．
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《北京市第十二中学2024-2025学年高一下学期3月练习数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
ABC
C
B
D
A
D
C
C
B
1．B
【分析】利用向量线性运算的坐标表示，再利用坐标计算模即得.
【详解】向量，，则，
所以.
故选：B
2．ABC
【分析】利用平面向量基底的定义及共线的充要条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】对于选项A，因为，则与共线，
所以不能作为平面向量的基底，故选项A正确，
对于选项B，因为，则与共线，
所以不能作为平面向量的基底，故选项B正确，
对于选项C，，则与共线，
所以不能作为平面向量的基底，故选项C正确，
对于选项D，因为不存在实数，使，即与不共线，
所以能作为平面向量的基底，故选项D错误，
故选：ABC.
3．C
【解析】先由三角函数的定义求出，再由二倍角公式即可求出.
【详解】角的终边与单位圆交于点，
，
.
故选：C.
4．B
【分析】已知边角边，可由余弦定理求第三边即可.
【详解】由余弦定理可得，
，
故选:B.
5．D
【分析】首先建系，确定向量的坐标，根据向量数量积的坐标表示求解.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，由图可知，，，
则，所以.
故选：D
6．A
【分析】由题意作