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北京市第五中学2024-2025学年高一下学期3月考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（????）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（????）
A． B． C． D．
3．，则（????）
A． B． C． D．
4．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（????）
A． B． C． D．
5．函数的图像大致为（）
A． B．
C． D．
6．中，，，，则的面积等于（????）
A． B． C．或 D．或
7．已知，，则在上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
8．在中，“”是“”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．如图所示，点为正八边形的中心，已知，点为线段上一动点，则的范围是（????）
A．
B．
C．
D．
10．已知，为不共线的单位向量，则以下四个向量中模最大者为（????）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知向量，，若，则．
12．能使“”成立的一个的值为.
13．在中，角的对边分别是，若，且，则，的面积最大值是．
14．如图，在平行四边形ABCD中，与相交于.若，则AB的长为.
15．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如．已知函数，函数，则下列命题正确的是．
①函数是周期函数；?????????????????②函数的值域是；
③函数的图象关于对称；??????④方程只有一个实数根；
三、解答题
16．已知平面上的两个向量（），．
(1)求证：向量与垂直；
(2)当向量与的模相等时，求的大小．
17．为弘扬中华民族优秀传统文化，春节前后，各地积极开展各种非遗展演、文化庙会活动.某地庙会每天8点开始，17点结束.通过观察发现，游客数量（单位：人）与时间之间，可以近似地用函数（，）来刻画，其中，8点开始后，游客逐渐增多，10点时大约为350人，14点时游客最多，大约为1250人，之后游客逐渐减少.
(1)求出函数的解析式；
(2)腊月二十九，为了营造幸福祥和的氛围，该庙会筹办方邀请本地书法家书写了950幅福字，计划选一时段分发给每位游客，为了保证在场的游客都能得到福字，应选择在什么时间赠送福字？
18．已知函数，.
（1）求的最小正周期和单调减区间；
（2）若（）为的一个零点，求的值.
19．在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，在①；②．两个条件中任选一个，补充在下面问题中（将选的序号填在横线处），
已知，______．
(1)若，求b；
(2)若的周长为，求的面积S．
20．已知函数的图象过点，且满足．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的最大值；
(3)若满足，则称为函数的不动点．若函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值．
21．给定正整数，设集合．任取中两个元素，，记，，；任取中两个元素，，记，，；，以此类推：任取中两个元素，，记，，，其中，规定．
(1)当时，写出一组和；
(2)是否存在集合与正整数，使？说明理由；
(3)当时，是否存在整数，使？若存在，写出一组，，，；若不存在，说明理由．
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《北京市第五中学2024-2025学年高一下学期3月考试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
A
A
D
A
D
D
D
1．B
【分析】根据向量的加减运算，即可得答案．
【详解】由题意得.
故选：B
2．C
【分析】分别通过解不等式以及求函数的定义域可得集合A，B，再求交集即可．
【详解】因为，
，
所以.
故选：C．
3．C
【分析】根据指数函数，对数函数单调性及特殊角的三角函数判断范围即可求解.
【详解】因为，，，故．
故选：C．
4．A
【分析】由已知可得，结合已知计算可求得，进而可求夹角．
【详解】因为，所以，所以，
所以，因为，
所以，又因为，所以．
所以与的夹角为．
故选：A．
5．A
【分析】结合函数的奇偶性和单调性，利用排除法求解.
【详解】解：由，解得，
所以函数的定义域为，
因为，所