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福建省厦门第六中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知均为单位向量.若，则与夹角的大小是（????）
A． B． C． D．
2．的内角的对边分别为，若，，，则
A． B．6 C．7 D．8
3．若向量满足，则（????）
A． B． C． D．
4．已知圆柱的底面半径与球的半径均为1，且圆柱的侧面积等于球的表面积，则该圆柱的母线长等于（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．在中，，则的面积为（????）
A． B． C． D．
6．若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为3的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（????）
A． B． C． D．
7．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距分别作为点的坐标和坐标，记.若斜坐标系中，轴正方向和轴正方向的夹角为，则该坐标系中和两点间的距离为（????）
??
A．
B．
C．
D．
8．湖北武汉的黄鹤楼是中国古代四大名楼之一，因唐代诗人崔颢的《黄鹤楼》而名扬天下，小张同学打算利用镜面反射法测量黄鹤楼的高度.如图所示，小张将平面镜置于黄鹤楼前的水平地面上，他后退至从镜中正好能看到楼顶的位置，测量出人与镜子的距离.沿直线将镜子向后移距离，再次从镜中观测楼顶，并测量出此时人与镜子的距离.若小张的眼睛距离地面的高度为，则黄鹤楼的高度可表示为（????）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列说法中，错误的是（????）
A．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
B．正四面体是一种特殊的正三棱锥
C．平行六面体是一种特殊的斜四棱柱
D．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为2的等边三角形，则原平面图形的面积是
10．已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（????）
A．若，则
B．若，则为钝角三角形
C．若，则为等腰三角形
D．若的三角形有两解，则的取值范围为
11．已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（????）
A．若，则点是的垂心
B．若，则
C．若，则动点的轨迹经过的内心
D．若，则动点的轨迹经过的外心
三、填空题
12．已知平面向量，，则在上的投影向量为（结果用坐标表示）
13．在正四棱台中，，则该棱台的体积为．
14．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，．
四、解答题
15．已知，.
(1)若，且、、三点共线，求的值.
(2)当实数为何值时，与垂直？
16．如图，在菱形中，.
(1)若，求的值；
(2)若，，求.
17．海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为.
??
(1)救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？
(2)求之间的距离，并判断若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援（说明理由）？
18．现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.
(1)若，，求该几何体的体积.
(2)若正四棱锥的侧棱长为，，
（i）求正四棱锥的侧面积.
（ii）若，分别是线段，上的动点，求的最小值.
19．已知，，分别为三个内角，，的对边，满足，.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且外接圆圆心为，
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）求和面积之差的最大值.
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《福建省厦门第六中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
B
D
C
A
A
AC
ABD
题号
11
答案
ABD
1．C
【分析】对两边同时平方，再结合单位向量的性质求出，最后根据向量数量积公式求出夹角.
【详解】已知，两边平方可得.
则，所以.
因为均为单位向量，所以.
根据，，.
将其代入可得：.则.
设与的夹角为，，且，，可得，即.
因为，所以.
则与夹角的大小是.