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广东省深圳大学附属中学等校2024-2025学年高一下学期第一次段考（3月）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列叙述中正确的是（）
A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反
B．若，则
C．若，，则
D．对任一非零向量，是一个单位向量
2．已知复数满足，为虚数单位，则（???）
A． B．10 C． D．5
3．在中，角的对边分别为，若，则
A． B． C． D．或
4．在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（???）
A． B． C． D．
5．若（为虚数单位）是关于方程的一个根，则（????）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．向量，为第三象限角，且，则（???）
A． B． C． D．
7．已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（????）
A．3 B． C． D．
8．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（???）
A．若，则 B．若．则
C．若，则 D．若，则
10．已知向量，则下列选项正确的是（???）
A．
B．
C．已知．若与的夹角为钝角，的取值花围是
D．与夹角的余弦值为
11．三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（????）
A． B．若面积为，则周长的最小值为12
C．当，时， D．若，，则面积为
三、填空题
12．复数表示的点在复平面的第二象限内，则实数的取值范围是（用区间表示）.
13．如图所示，已知船在灯塔北偏东的方向，且，间的距离为2km，船在灯塔北偏西的方向，且，两船间的距离为3km，则，间的距离为km.
14．已知为坐标原点，向量（点不重合）满足，，若平面内一点满足，则的取值范围是．
四、解答题
15．已知向量，，且．
(1)若向量与互相垂直，求的值．
(2)若向量与互相平行，求的值．
16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，，，．
（1）求；
（2）求的长．
17．设向量，，．
(1)求的单调递减区间；
(2)在锐角中，角所对的边分别为，若，，，求的面积
18．如图，在中，.若是线段上一点，是线段上一点，其中.
??
(1)若，线段与交于点，求的值，
(2)若，求的最小值.
19．在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为．
(1)已知，求；
(2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是；
②在中，，角A的平分线AD与BC交于点D，且，若，求．
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《广东省深圳大学附属中学等校2024-2025学年高一下学期第一次段考（3月）数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
D
D
D
B
A
A
BD
BD
题号
11
答案
ABD
1．D
【分析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断.
【详解】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误；
对B，，且，方向相同才可判断，故B错误；
对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误；
对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确.
故选：D
2．A
【分析】由复数的计算公式求得复数，然后求得
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：A.
3．D
【分析】根据正弦定理可求得，根据的范围可求得结果.
【详解】由正弦定理可得：
且????或
本题正确结果：
【点睛】本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题.
4．D
【分析】根据给定条件，利用向量加法及数乘向量运算求解即得.
【详解】依题意，，而，
所以
故选：D
5．D
【分析】将代入方程，利用复数的运算法则和复数相等的概念求解即可.
【详解】因为是关于方程的一个根，
所以，整理得，
所以，解得，
故选：D
6．B
【分析】由向量共线的坐标表示得，结合平方关系及角所在象限得，最后应用诱导公式化简求值.
【详解】由题设，且，为第三象限角，可得，
所以.
故选：B
7．A
【分析】根据给定条件，利用投