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湖北省华中科技大学附属中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．《RhindPapyrus》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一个类似这样的问题，请给出答案：把200个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（????）
A． B． C． D．
2．已知D为三棱锥棱的中点，则（????）
A． B．
C． D．
3．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，则向量的模长为（????）
A． B．34 C．52 D．
4．已知等差数列的前项和为，且，则（????）
A．6 B．9 C．11 D．14
5．如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（????）
A． B． C． D．
6．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（????）
A．462 B．465 C．468 D．475
7．设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，当的面积为2时，的值为（????）
A．2 B．3
C．4 D．6
8．已知椭圆，直线l过坐标原点并交椭圆于两点（P在第一象限），点A是x轴正半轴上一点，其横坐标是点P横坐标的2倍，直线交椭圆于点B，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图，正方体的棱长为1，下列结论正确的是（????）
A．若P在棱AB上运动，则直线与直线所成的夹角一定为
B．若P在棱AB上运动，则三棱锥的体积为
C．若P在底面ABCD内（包含边界）运动，且满足，则动点P的轨迹的长度为
D．若P在内（包含边界）运动，则直线与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围为
10．设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则下列说法中正确的是（???）
A．， B．离心率为
C．的面积为12 D．的外接圆面积为
11．关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（）
A．若数列为等比数列，且其前项的和，则
B．若数列为等比数列，且，则
C．若数列为等比数列，为前项和，则，，，…成等比数列
D．若数列为等差数列，，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为12
三、填空题
12．数列成等比数列，其公比为q，前n项和为Sn．若，，则．
13．设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是．
14．抛物线的焦点为，为轴正半轴上的一点,射线与抛物线交于点，与抛物线准线交于点．若成等差数列，则．
四、解答题
15．已知圆．
(1)过直线上点P作圆的两条切线，若两条切线的夹角是，求点P的坐标；注：两条直线相交所形成的小于等于的正角称为这两条直线的夹角
(2)点，，动点P始终满足，试判断动点P的轨迹与圆的位置关系；
16．已知数列的首项，且满足．
（1）求证：数列为等比数列．
（2）若，求满足条件的最大整数n．
17．如图，三棱锥中，是边长为的正三角形，，底面于点，，且.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
18．已知圆锥曲线上的点的坐标满足．
（1）说明是什么图形，并写出其标准方程；
（2）若斜率为1的直线与交于轴右侧不同的两点，，点为．
①求直线在轴上的截距的取值范围；
②求证：的平分线总垂直于轴．
19．如图，直线与相交于点M.直线与x轴交于点，过点作x轴的垂线交直线于点，过点作y轴的垂线交直线于点，过点作x轴的垂线交直线于点，…，这样一直作下去，可得到一系列点，….点的横坐标构成数列.
(1)求的值，并求与的关系式；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，求数列的前n项和.
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