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湖北省武汉市2025届高三五月模拟数学试题（二）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，则在复平面内对应的点位于（????）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设集合，，若，则（???）
A．2 B．1 C． D．-2
3．一个不透明的袋中装有2个红球，2个黑球，1个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中一次性随机抽取3个球，则“这3个球的颜色各不相同”的概率为（????）
A． B． C． D．
4．若函数是偶函数，则曲线在处的切线斜率为（???）
A． B．0 C． D．
5．已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（????）
A．e B．1 C． D．
6．已知顶角为的等腰三角形为黄金三角形，底边与腰长的比值为黄金分割比，根据上述信息，可得（????）
A． B． C． D．
7．记为等比数列的前项和，若，，则（????）
A． B． C．85 D．120
8．椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于点，过点作椭圆的切线，点关于的对称点为，若，则椭圆的离心率为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且点到平面的距离为，则（????）
A．该圆锥的体积为 B．直线与平面所成的角为
C．二面角为 D．直线与所成的角为
10．设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（????）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形
11．已知且，函数，则（????）
A．若，则有个零点
B．若，则在区间上单调递减
C．若有两个零点，则
D．若，则存在，使得当时，有
三、填空题
12．已知向量，且，则向量与向量的夹角余弦值为.
13．如图所示，过三棱台上底面的一边，作一个平行于棱的截面，与下底面的交线为DE．若D、E分别是AB、BC的中点，则．
14．“四进制”是一种以为基数的计数系统，使用数字，，，来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以的相应次方（从开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；现将所有由，，组成的位（如：，）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被整除的概率为．
四、解答题
15．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图.
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)根据样本数据，估计65百分位数；
(3)已知该地区这种疾病患者的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的，从该地区任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率.（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率）
16．在中，内角，，的对边分别为，，．已知．
(1)若，求；
(2)求的取值范围；
(3)设是边上一点，若，，记，的面积分别为，，求的值．
17．如图，三棱锥中，，，，平面平面，是中点，且满足.
(1)证明：；
(2)求二面角的正弦值.
18．已知点，动点满足直线与直线的斜率之积为，动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程：
(2)直线与曲线交于两点，且交于点，求定点的坐标，使为定值；
(3)过（2）中的点作直线交曲线于两点，且两点均在轴的右侧，直线的斜率分别为，求的值．
19．已知函数
(1)证明不等式：；
(2)记，证明：；
(3)已知，证明：.
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《湖北省武汉市2025届高三五月模拟数学试题（二）》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
B
D
A
C
D
BCD
AC
题号
11
答案
ABD
1．C
【分析】利用复数的运算和共轭复数概念以及复数对应复平面上的点的位置即可判断.
【详解】由，得