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湖北省武汉市第二中学2025届高三高考模拟数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合，，则（）
A． B． C． D．
2．若复数是纯虚数，则实数（???）
A．1 B． C．2 D．
3．将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的，若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（???）
A． B． C． D．
4．把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（????）
A．60 B．36 C．30 D．12
5．在无穷等差数列中，公差为d，则“存在，使得”是“（）”的（????）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为2的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直，则该包装盒的容积为（????）
A． B． C． D．20
7．如图，椭圆与双曲线有共同的右焦点，这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B，直线与双曲线右支的另一个交点为，形成以为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（???）
??
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则（????）
A．是偶函数 B．是奇函数
C． D．
二、多选题
9．设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（????）
A．事件A与B为互斥事件 B．事件两两独立
C． D．
10．如图所示，在正方体中，是棱上一点（不包含端点），平面与棱交于点．则下列说法正确的是（???）
A．四边形是平行四边形；
B．四边形可能是正方形；
C．任意平面都与平面垂直；
D．对任意点，一定存在过的直线，使与直线和都相交．
11．设为坐标原点，对点（其中）进行一次变换，得到点，记为，则（???）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．为图象上一动点，，若的轨迹仍为函数图象，则
三、填空题
12．的展开式的第5项的系数是．（用数字作答）
13．近几年，我国新能源汽车产业进入了加速发展的阶段，呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面．新能源汽车的核心部件是动力电池，其中的主要成分是碳酸锂．下表是某地2023年3月1日至2023年3月5日电池级碳酸锂的价格与日期的统计数据：
日期代码
1
2
3
4
5
电池级碳酸锂价格（十万元／吨）
4.1
3.9
3.8
3.9
根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，根据数据计算出在样本点处的残差为，则的值为．
14．在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最小值为．
四、解答题
15．已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
16．已知在三棱锥中，，，，，
????
(1)证明：平面平面ABC；
(2)求二面角的正弦值．
17．已知函数，
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调区间；
(3)若在上存在零点，求实数的取值范围.
18．如图，已知椭圆与椭圆有相同的离心率，点在椭圆上．过点的两条不重合直线与椭圆相交于两点，与椭圆相交于和四点．
??
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：；
(3)若，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值．
19．阿尔法狗是谷歌公司开发的人工智能程序，它第一个战胜了围棋世界冠军.它可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策.工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来训练阿尔法狗，三个阶段的阿尔法狗依次简记为甲、乙、丙.
(1)测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个阿尔法狗各比赛一局，各局比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，记该棋手连胜两局的概率为p，试判断该棋手在第二局与谁比赛p最大，并写出判断过程.
(2)工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立.
（ⅰ）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值;
（ⅱ