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湖南省多校联考2024-2025学年高二下学期3月质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则（????）
A． B．
C． D．
2．复数的虚部是
A．i B．-i C．1 D．-1
3．已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（????）
A． B． C． D．
4．某校组织校庆活动，由甲、乙、丙三名志愿者负责、、、四个任务，每人至少负责一个任务，每个任务都有且仅有一人负责，且任务由甲负责，则不同的任务分配方法种数为（????）
A． B． C． D．
5．已知某公司有60名男员工、20名女员工，男员工中有的人有驾照，女员工中有的人有驾照，随机从该公司抽取一名员工，若已知该员工有驾照，则该员工是男员工的概率为（????）
A． B． C． D．
6．牛顿-莱布尼茨公式，又称微积分基本定理，其表述如下：若函数在区间上的导函数为，那么.若，，且，则（????）
A． B． C． D．2
7．如图，在正三棱柱中，，若存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为（????）
A．1 B． C． D．2
8．已知函数，过点作该函数图象的切线，则切线的条数为（????）
A．0 B．1 C．2 D．以上都有可能
二、多选题
9．对于二项式，下列说法正确的是（????）
A．展开式中各项的二项式系数之和为
B．若展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则
C．若展开式中的系数为160，则
D．若为奇数，令，则
10．已知过原点且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，是的一个焦点，若的面积大于，则的离心率可以是（????）
A．2 B． C． D．3
11．已知数列满足，则下列说法正确的有（????）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
三、填空题
12．已知向量，若，则实数.
13．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则的焦点到准线的距离为.
14．已知实数满足，且，若实数使得关于的方程在区间上有解，则的最小值是.
四、解答题
15．记数列的前项和为，已知.
(1)求证：是等差数列；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
16．已知的内角、、的对边分别是、、，且.
(1)求；
(2)若，的平分线与相交于点，且，求的面积.
17．如图，等腰梯形的面积为，过点作于点.将沿翻折到的位置，使得平面平面.
(1)求证：；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
18．已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求的取值范围；
(3)当时，设，证明：在上存在唯一的极小值点且.
参考数据：.
19．已知椭圆的左、右焦点分别为、，是上除左、右顶点以外的动点，直线与交于另一点，当轴时，.
(1)求的方程；
(2)求的内切圆面积的最大值；
(3)在射线、上分别取点、，满足，证明：直线过定点.
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《湖南省多校联考2024-2025学年高二下学期3月质量检测数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
B
A
B
D
C
BCD
BC
题号
11
答案
ACD
1．D
【分析】由不等式解出两集合，再求并集即可.
【详解】由题意可得，
所以.
故选：D
2．C
【详解】试题分析：，虚部为1．故选C．
考点：复数的运算，复数的概念．
3．C
【分析】不妨设直线分别交、轴于点、，则，，可得出直线的截距式方程为，结合已知条件可得出，利用基本不等式可求得面积的最小值.
【详解】不妨设直线分别交、轴于点、，则，，
所以，直线的截距式方程为，因为点在直线上，则，
由基本不等式可得，可得，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的面积的最小值为.
故选：C.
4．B
【分析】对甲负责的任务数量进行分类讨论，结合分类加法计数原理可求得结果.
【详解】若甲负责两个任务，则甲还需从、、三个任务中挑选一个任务，
剩余两个任务排给乙、丙两人，此时有种分配方法；
若甲只负责任务，则需将、、三个任务分为两组，再分配给乙、丙两人，
此时，有种不同的分配方法.
由分类加法计数原理可知，不同的分配方法种数为种.
故选：B.