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湖南省衡阳市第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（???）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图，用4种不同的颜色给矩形，，，涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（????）
A．12种 B．24种 C．48种 D．72种
3．设，向量，，，且，，则??
A． B． C． D．
4．数列满足，，则（???）
A．8 B．4 C．2 D．1
5．某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（???）种.
A．18 B．24 C．27 D．64
6．已知，，则（????）
A． B． C． D．
7．在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，称这个表为杨辉三角（如图1，小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将的展开式按x的升幂排列，将各项系数列表如下（如图2）：
上表图2中第n行的第m个数用表示，即展开式中含项的系数为，则下列命题正确的有（???）个.
①??②??③
④
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
8．如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，为线段上的动点（含端点），则（????）
A．
B．平面与平面可能平行也可能垂直
C．的取值范围是
D．点到平面的距离为
9．某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是（???）
A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法
B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有15种不同的选法
C．将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种
D．8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有336种排法.
10．已知，则（????）
A． B．
C． D．
11．在锐角中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（????）
A． B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
三、填空题
12．已知函数，则.
13．若的展开式中的系数为40，则实数.
14．过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，（从下至上依次为）．若，则直线的斜率为．
四、解答题
15．某校团委开展知识竞赛活动.现有两组题目放在A，B两个箱子中，A箱中有6道选择题和3道论述题，B箱中有3道选择题和2道论述题.参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子.
(1)若同学甲从B箱中抽取了两题，求第二题抽到论述题的概率；
(2)若同学甲从B箱中抽取了两题，已知第一题抽到论述题的条件下，求第二题抽到论述题的概率；
(3)若同学乙从A箱中抽取了两题，答题结束后误将题目放回了B箱，接着同学丙从B箱中抽取题目作答，求丙取出的第一道题是选择题的概率.
16．在的展开式中，
(1)求二项式系数最大的项；
(2)若第项是有理项，求的取值集合；
(3)系数最大的项是第几项.
17．已知函数.
(1)若，且函数有极值2，求的值；
(2)若，且不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
18．设等比数列的前n项和为，已知．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列．
①设，求；
②在数列中是否存在三项、、（其中m、k、p成等差数列）成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．
19．已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为．点在第一象限的双曲线上，过点作双曲线切线与直线交于点．
(1)证明：；
(2)已知斜率为的直线与双曲线左支交于两点，若直线，的斜率互为相反数，求的面积．
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《湖南省衡阳市第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题》参考答案
题号
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4
5
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8
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10
答案
D
D
C
B
A
B
C
ABD
BCD
AC
题号
11