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江苏省海门中学2024-2025学年高一下学期3月质量调研测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量，，若，则x＝（????）
A． B．1 C． D．－1
2．已知，，则（????）
A． B． C． D．
3．设向量，则（）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
4．设D为ABC所在平面内一点，，则（????）
A． B．
C． D．
5．已知终边与单位圆的交点，且是第二象限角，则的值等于
A． B． C．3 D．
6．在中，若，则这个三角形是（）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
7．为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（?????）
A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度
8．我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称之为“水滴”小王是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的“水滴”：由线段和优弧围成，与圆弧分别切于点B、C，直线与水平方向垂直（如图），已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为9∶5，则（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．对于任意的非零平面向量，，，下列结论正确的是（????）
A． B．若，则
C． D．
10．已知、，，则下列不等关系一定正确的是（????）
A． B．
C． D．
11．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（????）
A．
B．
C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为
D．的最大值为
三、填空题
12．已知，，若与为共线向量，则实数k＝．
13．已知，则.
14．如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，则的最小值为.
四、解答题
15．已知，，的夹角是60°，计算
(1)计算，；
(2)求和的夹角的余弦值.
16．在①，②，③中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.
已知，且.
(1)求的值；
(2)若，求.
说明：若选择多个条件解答，则按第一个选择给分.
17．已知向量，，．
(1)若，求x的值；
(2)记，若对于任意，而恒成立，求实数的最小值．
18．已知是线段外一点，若.
(1)设点是的重心，证明：；
(2)设点是线段的三等分点，及的重心依次为.
①试用向量表示；
②依据①的推理，设点线段的等分点，分别是的重心.请你写出：及(用表示不必证明)；
③若，求．
19．对于常数集合和变量，定义为相对集合的“n元余弦方差”.
(1)若集合，求相对集合的二元余弦方差.
(2)当集合时，求相对集合的三元的余弦方差.
(3)在直角坐标系中，已知为相对集合的一元余弦方差，函数，且，请问在y＝φ(x)的图象上，是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
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《江苏省海门中学2024-2025学年高一下学期3月质量调研测试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
C
C
D
A
A
AC
BCD
题号
11
答案
AD
1．D
【分析】利用向量减法和数量积的坐标运算可表示出，解方程即可.
【详解】，，，解得：.
故选：D.
2．B
【分析】根据二倍角公式和同角三角函数关系式，将转化为用表示，再代入计算即可.
【详解】因为,所以,
又,所以,
故选：B.
3．C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示以及充分条件、必要条件的定义逐项判断即可.
【详解】对A，当时，则，所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对C，当时，，故，所以，即充分性成立，故C正确；
对D，当时，不