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山东省济南市莱芜第一中学2024-2025学年高二下学期第一次阶段性测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数，则在区间上的最大值为（????）
A． B． C． D．
2．曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（????）
A． B． C． D．
3．若函数在内无极值，则实数a的取值范围是（????）
A． B． C． D．
4．已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（???）
??
A．?? B．??
C．?? D．??
5．已知函数，则（???）
A．0 B． C．2025 D．4050
6．已知函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（???）
A． B． C． D．
7．已知函数．若对任意的，都存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
8．若函数，且，则正实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选）已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（???）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则下列判断正确的是（????）
A．方程有两个根
B．函数有2个零点
C．当时，函数的图象总在函数图象的上方
D．函数的最大值为1
11．设计一个实用的门把手，其造型可以看作图中的曲线的一部分，则（????）
??
A．点在上
B．将在轴上方的部分看作函数的图象，则1是的极小值点
C．在点处的切线与的另一个交点的横、纵坐标均为有理数
D．时，曲线上任意一点到坐标原点的距离均大于
三、填空题
12．设函数在处的导数存在，且，则.
13．已知函数，则.
14．已知函数若关于a的方程恰有四个不同的解，则正数m的取值范围为．
四、解答题
15．已知函数在处取得极值．
(1)求实数的值；
(2)求函数在区间上的最小值．
16．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若，证明：当时，.
17．某乡镇全面实施乡村振兴战略，大力推广“毛线玩具”加工产业.某生产合作社组建加工毛线玩具的分厂，需要每年投入固定成本10万元，每加工万件玩具，需要流动成本万元.当年加工量不足15万件时，；当年加工量不低于15万件时，.通过市场分析，加工后的玩具以每件元的价格，全部由总厂收购.
(1)求年利润关于年加工量的解析式；（年利润年销售收入-流动成本-年固定成本）
(2)当年加工量为多少万件时，该合作社的年利润最大？最大年利润是多少？（参考数据:）.
18．已知函数.
(1)若，求函数在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)求证：，.
19．已知函数．
(1)当时，求的极小值；
(2)若存在两个极值点．
（i）求a的取值范围；
（ⅱ）证明：．
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《山东省济南市莱芜第一中学2024-2025学年高二下学期第一次阶段性测试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
C
A
B
D
C
C
ABC
ACD
题号
11
答案
ACD
1．B
【分析】利用导数研究函数在区间上的单调性，结合单调性求函数的最大值.
【详解】因为，
所以函数的导函数为，
令，可得或，
当时，，函数在上单调递增，
当时，。函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
又，，
所以在区间上的最大值为.
故选：B.
2．B
【分析】借助导数的几何意义计算即可得.
【详解】，令，则，故，
当时，，即的坐标为.
故选：B.
3．C
【分析】求出导数，再由导函数在内无变号零点，结合函数的单调性确定最小值和最大值的范围即可求解.
【详解】由函数在内无极值，得在内无变号零点，
而函数在上单调递增，则或，解得或，
所以实数a的取值范围是.
故选：C
4．A
【分析】由导数图像，确定函数单调性，进而可判断；
【详解】由导函数图象可知，在上单调递减，在上单调递增，
结合选项，只有A符合；
故选：A
5．B
【分析】先求出导函数，再代入结合应用诱导公式及特殊角的函数值求解.
【详解】因为，
则，
故.
故选:B.
6．D
【分析】先求得函数的定义域，然后由恒成立来求得的取值范围.
【详解】由，解得，
所以的定义域是，