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浙江省杭州市临平区杭州高级中学临平学校2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知点，，向量，若⊥，则实数y的值为（????）
A． B． C．7 D．
2．用一个平面截半径为3的球，截面面积为，则球心到截面的距离为（????）
A．1 B．2 C． D．
3．已知，则“为纯虚数”是“”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数的部分图象如图所示，则（???）
??
A．1 B． C． D．2
5．在中，为的角平分线，若，，，则边的长为（????）
A． B． C． D．
6．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形CDE按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则=（????）
A． B． C． D．
7．已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个球，则该球的表面积的最大值为（????）
A． B． C． D．
8．点P在边长为1的正三角形的外接圆上，则的最大值为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．[多选]下列说法正确的是（???）
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形
C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．圆台平行于底面的截面是圆面
10．已知函数，若方程，则（???）
A．当或时，方程有个解
B．当时，方程有个解
C．当或时，方程有个解
D．当时，方程有个解
11．已知平面向量满足，则下列结论正确的是（????）
A． B．与的夹角为
C． D．的最大值为
三、填空题
12．已知，则.
13．如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形面积是.
??
14．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为2，则勒洛四面体能够容纳的最大球的表面积为.
??
四、解答题
15．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，．
(1)若点，，，试用基底表示；
(2)若，且点P在第四象限，求的取值范围．
16．某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究．
(1)小王获得了以下信息：
．教学楼和体育馆之间有一条笔直的步道；
．在步道上有一点，测得到教学楼顶的仰角是，到体育馆楼顶的仰角是；
．从体育馆楼顶测教学楼顶的仰角是；
．教学楼的高度是20米．
请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度．
(2)小李获得了以下信息：
．体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米；
．大屏幕的高度是2米；
．当观众所站的位置到屏幕上下两端，所张的角最大时，观看屏幕的效果最佳．
请帮助小李完成任务二：求步道上观看屏幕效果最佳地点的位置．
17．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且
(1)求角B的值；
(2)若，求的周长的取值范围.
18．高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱.的高是正四棱锥.的高的4倍.
(1)若；
(i)求该模型的体积；
(ii)求顶部正四棱锥的侧面积；
(2)若顶部正四棱锥的侧棱长为6，当为多少时，底部正四棱柱的侧面积S最大?并求出S的最大值.
19．“凸凹性”是函数的重要性质.若函数的图像在定义域区间上连续不断，且对任意，恒有，则称函数是区间上的上凸函数；若恒有，则称函数是区间上的下凸函数（也称凹函数）.将上述定义进行推广，即若是上凸函数，则对任意恒有，若是下凸函数，则对任意恒有，当且仅当时等号成立，这个不等式即为著名的琴生不等式.
(1)判断是上凸还是下凸函数？（直接写出结论即可）；
(2)判断在上是上凸还是下凸函数？并证明你的结论；
(3)已知锐角满足，求的最大值.
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