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浙江省宁波市姜山中学2024-2025学年高一下学期3月模拟测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，四边形中，，则必有（????）
A． B． C． D．
2．已知单位向量，的夹角为，则（????）
A． B． C． D．
3．已知点是的重心，则（????）
A． B．
C． D．
4．已知中的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，，则（????）
A． B． C． D．
5．已知向量均为单位向量，且，则与的夹角为（????）
A． B． C． D．
6．在中，若，则的形状是（????）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
7．若O为△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABC的形状为（????）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
8．已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为（????）
A．1 B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，则（???）
A．若与垂直，则 B．若，则的值为
C．若，则 D．若，则与的夹角为
10．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（????）
A． B．
C． D．
11．在中，角所对的边分别是，下列命题正确的是（????）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则此三角形有两解
C．若，则为等腰三角形
D．若，且，则该三角形内切圆面积的最大值是
三、填空题
12．向量在向量上的投影向量为．
13．鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今已有四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔.现在在塔底共线三点、、处分别测塔顶的仰角为、、，且m，则文星塔高为m.
??
14．如图，半径为1的扇形中，是弧上的一点，且满足分别是线段上的动点，则的最大值为．
四、解答题
15．设是不共线的两个非零向量．
(1)若，求证：三点共线；
(2)若与共线，求实数k的值．
16．如图所示，在平面四边形中，，
??
(1)求的值.
(2)若为锐角，，求角.
17．如图，已知点是边长为1的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边于点，设，其中．
(1)求的值；
(2)求面积的最小值，并指出相应的的值．
18．在中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知，．
(1)若的面积等于，求的周长；
(2)若，求．
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，
(1)若，
①求；
②若，设点为的费马点，求；
(2)若，设点为的费马点，，求实数的最小值．
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《浙江省宁波市姜山中学2024-2025学年高一下学期3月模拟测试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
A
C
D
B
D
BC
ABC
题号
11
答案
ABD
1．B
【分析】根据，得出四边形是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可．
【详解】四边形中，，则且，
所以四边形是平行四边形；
则有，故A错误；
由四边形是平行四边形，可知是中点，则，B正确；
由图可知，C错误；
由四边形是平行四边形，可知是中点，，D错误．
故选：B．
2．B
【分析】根据题意可得，，，结合数量积的运算律分析求解.
【详解】由题意可知：，，，
所以.
故选：B.
3．D
【分析】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】设的中点为D，连接，点是的重心，则P在上，
且
，
由此可知A，B，C错误，D正确，
故选：D
4．A
【分析】首先由余弦定理求，再根据正弦定理求值.
【详解】由余弦定理可知，
即，解得：或（舍）
由正弦定理可知.
故选：A
【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，重点考查两个定理的基本应用，属于基础题型.
5．C
【分析】将条件等式变形，再结