试卷第=page11页，共=sectionpages33页
试卷第=page11页，共=sectionpages33页
重庆市第一中学校2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量，若，则实数（????）
A． B． C． D．
2．下列是函数的对称中心的是（????）
A． B． C． D．
3．已知，是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（????）
A． B． C． D．
4．在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是（????）
A． B． C． D．
5．在艺术、建筑设计中，把短对角线与长对角线的长度之比为的菱形称为“白银菱形”.如图，在白银菱形ABCD中，若，则（????）
A． B． C． D．
6．在中，角的对边分别为，，，则（????）
A． B． C． D．
7．已知点O是ABC的内心，若，则cos∠BAC=（????）
A． B． C． D．
8．已知四边形ABCD满足，且其外接圆半径为，四边形ABCD的周长记为L，若的面积，则当L取最大值时，四边形ABCD的面积为（???）
A．10 B．15 C． D．
二、多选题
9．已知复数z满足：，则（???）
A． B．的虚部是3
C． D．复数z在复平面内对应的点位于第四象限
10．已知函数，则下列结论中正确的是（????）
A．若ω=2，则将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
B．若，且的最小值为，则ω=2
C．若在[0，]上单调递增，则ω的取值范围为（0，3]
D．若在[0，π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是
11．已知平面向量满足则下列说法正确的是（????）
A．的最小值为
B．若则的最大值为
C．若向量满足则的最大值是
D．若向量满足，则的最小值是2
三、填空题
12．已知是关于的方程的一个根，则．
13．已知向量与共线，则.
14．已知函数，则关于的方程：的实根个数为.
四、解答题
15．已知偶函数，，且函数的最小正周期为.
(1)求与的值；
(2)若，求的对称轴和对称中心.
16．已知如图在边长为8的正三角形ABC中，D为BC的中点，E为BD的中点.
(1)若点P为的重心，且有，求m和n的值；
(2)若点Q在以点E为圆心，半径为1的圆上运动，且有，求的取值范围.
17．已知几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在中，内角的对边分别为，现以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，，且.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
18．锐角面积为，角的对边分别为，且.
(1)求证：；
(2)若，求的值；
(3)求的最小值.
19．17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在中，若三个内角均小于，当点满足时，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被称为的费马点.请根据费马点性质解决下列问题：
(1)已知在中，，，若点为的费马点，求的面积；
(2)已知在中，，，若点为平面上任意一点，求的最小值；
(3)已知在中，，，，点在线段上，且满足，若点为的费马点，求的值.
答案第=page11页，共=sectionpages22页
答案第=page11页，共=sectionpages22页
《重庆市第一中学校2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月）数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
D
D
C
C
C
A
AC
ABD
题号
11
答案
ACD
1．B
【分析】利用垂直关系的向量表示，数量积的坐标表示列式计算得解.
【详解】向量，则，，
由，得，
所以.
故选：B
2．D
【分析】先求出函数的对称中心，逐个检验即可得出答案.
【详解】由可得，，
所以，函数的对称中心的是，.
对于A项，由，可得，故A项错误；
对于B项，由，可得，故B项错误；
对于C项，由，可得，故C项错误；
对于D项，由，可得，故D项正确.
故选：D.
3．D
【分析】根据投影向量可得数量积，结合夹角公式可得答案.
【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以，即；
，；
设向量与向量的夹角为，则，
因为，所以；
故选：D.
4．D
【分析】由题意，或，进而可得.
【详解】