数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，则（）
A．B．C．D．
2．“”是“复数为纯虚数”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．某学习小组共5名同学，某次模拟考试的数学成绩平均分数为112，已知其中4名同学的成绩分别为96，109，120，126，则这5名同学成绩的第75百分位数是（）
A．112B．119C．120D．121
4．已知向量且向量方向相反，则可以是（）
A．B．C．D．
5．记数列的前n项和为，若数列是公差为1的等差数列，则（）
A．1B．2C．2025D．2022
6．已知抛物线，其准线为l焦点为F，过的直线PQ与l和C从左到右依次相交于A，P，Q三点，且，则和的面积之比为（）
A．B．C．D．
7．中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，，与都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（）
A．B．C．D．
8．函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线．在数列中，，记数列的前n项积为，数列的前n项和为，其中，则（）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．某手机商城统计的2024年5个月智能手机的销量y（万部）如下表所示：
月份
7月
8月
9月
10月
11月
x
1
2
3
4
5
y
2
2
3
m
4
根据表中数据用最小二乘法得到的y关于月份编号x的回归直线方程为，则下列结论正确的是（）
A．
B．y与x正相关
C．当月份编号x每增加1时，销量大约增加0.5万部
D．预测2025年6月份该手机商城的销量约为6万部
10．已知如图是函数的部分图象，则（）
A．的图象关于中心对称B．在单调递增
C．在点处的切线方程为D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数
11．我们常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数，等于十进制的数13．已知，且，若把m位n进制中的最大数记为，则下列结论正确的是（）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若的展开式中的系数是20，则实数a的值为________．
13．将1，1，1，1，2，4，6，8这8个数填入如图所示的格子中（要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数），若填入的每行数之和为偶数，则不同的填数方法共有________种（用数字作答）
14．已知双曲线的离心率为，F为右焦点，点A，B在右支上，设D为A关于原点O的对称点，且．若，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角A的大小；
（2）若，且的面积为后，求的值．
16．（15分）如图，在四棱锥中，底面ABCD，．
（1）若，求：向量在向量上的投影向量的模；
（2）当，且时，求出四棱锥的外接球的表面积；
（3）若，且，求二面角的正切值．
17．（15分）已知函数．
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）若函数图象上有三个点A，B，C并且从左到右横坐标成等差数列，判断曲线在点B处的切线斜率与A，C两点连线斜率的大小关系．
18．（17分）已知椭圆的焦距为，以椭圆E短轴一个端点和两个焦点为顶点的三角形是直角三角形，过点的直线AB，CD分别交椭圆E于点A，B，C，D，点A始终在第一象限且与点D关于y轴对称，直线AC，BC分别交y轴于点G，M．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求点G的坐标；
（3）判断是否为定值，如果是，求出定值，如果不是说明理由．
19．（17分）在数轴的坐标原点放置一个机器人，它每过1秒都将以的概率向数轴