浙江省杭州学军中学紫金港校区2025届高三下学期学科测试数学试题
一、单选题
1．复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量，，若，则的值为（????）
A． B． C． D．
3．已知椭圆和椭圆有相同的离心率，则（???）
A． B． C．或4 D．或4
4．若展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数为（????）
A． B． C． D．
5．定义新运算：，设，命题，则（）
A．，且为假 B．，且为假
C．，且为真 D．，且为真
6．六人排一排照相，在甲、乙两人相邻的前提下，丙、丁两人之间间隔两人的概率为（????）
A． B． C． D．
7．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边△，若，，则（????）
A． B． C． D．
8．三棱锥的底面是等边三角形，，二面角的大小为，若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值等于（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若集合，则一定有（????）
A． B．
C． D．
10．若实数，且，则（????）
A． B．
C． D．
11．已知函数的定义域均为的图象关于对称，是奇函数，且，则下列说法正确的有（????）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．若，则．
13．记为数列的前n项和．已知，，则数列的通项公式是．
14．在平面直角坐标系中，已知点在曲线上运动，点在直线上运动，点，为中点，则的最小值为．
四、解答题
15．如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角余弦值.
16．智利的车厘子在中国市场上非常受欢迎，尤其是在春节前后，成为果品市场的“销售冠军”.进口水果办会对智利车厘子进行了分级，标准主要依据果实直径进行划分，通常分为以下几个等级：0级；直径在24mm到26mm之间；J级：直径在26mm到28mm之间；JJ级：直径在28mm到30mm之间；JJJ级：直径在30mm到32mm之间；JJJJ级：直径在32mm以上.某商贸公司根据长期检测结果，发现每批次进口车厘子的直径服从正态分布并把直径不小于的车厘子称为一等品，其余称为二等品.现从某批次的车厘子中随机抽取100颗（直径位于24mm至34mm之间）作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据长期检测结果，车厘子直径的标准差，用标准差作为的估计值，用样本平均数（按四舍五入取整数）作为的近似值.若从该批次中任取一颗，试估计该颗车厘子为一等品的概率（保留小数点后两位数字）；（①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）
（2）若从样本中直径在和的车厘子中随机抽取3颗，记其中直径在的个数为，求的分布列和数学期望.
17．已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.
18．已知椭圆过点，离心率为.不过原点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线的斜率为定值；
(3)求面积的最大值.
19．设正整数，对于数列，定义变换，将数列变换成数列：．已知数列满足．记．
(1)若：，写出数列，；
(2)若为奇数且不是常数列，求证：对任意正整数，都不是常数列；
(3)求证：当且仅当时，对任意，都存在正整数，使得为常数列．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由，所以，
则在复平面上对应的点为位于第四象限，
故选D.
2．【答案】B
【详解】由已知，，且，
则，
解得，
故选B.
3．【答案】D
【详解】易知椭圆的离心率为，
对于椭圆，
当焦点在轴上时离心率为，解得；
当焦点在轴上时离心率为，解得，
所以或.
故选D．
4．【答案】B
【详解】∵展开式的二项式系数之和为，
∴，故，
∴展开式的第项为，
由得，
∴，即含项的系数为.
故选B.
5．【答案】D
【详解】因为，且，
则，，
可得，即命题为假命题，
所以，且为真命题.
故选D.
6．【答案】D
【详解】设事件“甲、乙两人相邻”，“丙、丁两人之间间隔两人”，则.
若丙、丁两人之间是甲和乙，则有种排法；若丙、丁两人之间不是甲和乙，则有种排法，
∴，.
故选D.
7．【答案】B
【详解】在中，，
因为，所以，
设（），则，
由正弦定理可知，，即，则，
在中，，
，
又，则，故，
所以．
故选B．
8．【答案】A
【详解】设，三棱锥外接球的半径为R，则，解得，
设的外心为，该点是棱AC的中点，设等边的外心为，
过点作平面APC