陕西省汉中市2025届高三下学期联考模拟（二）（5月）数学试题
一、单选题
1．命题“”的否定为（????）
A． B．
C． D．
2．已知向量，则在上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
3．已知，则的虚部为（????）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的左?右焦点分别为，过点的直线与交于两点，若的周长为12，则的离心率为（????）
A． B． C． D．
5．当时，曲线与的交点个数为（????）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为?公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（????）
A．9 B．10 C．11 D．12
7．若从小明?小红?小刚等6名同学中选出3名同学分别到三个班级进行学习经验分享，则小明?小红?小刚三名同学不去班，且小刚不去班分享学习经验的概率为（????）
A． B． C． D．
8．已知为曲线上两个不同的点，曲线在点处的切线相交于点，且这两条切线的斜率之积为1，则的最小值为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在中，内角所对的边分别为，若，，且，则（????）
A．的外接圆直径为
B．
C．的面积为
D．的周长为
10．农业税自古以来就被称为皇粮国税，2006年党中央正式决定全面取消农业税.某县为了了解取消农业税前后农民每亩地的收入（单位：万元）发生了怎样的变化，通过抽样调查后发现取消农业税之前农民每年每亩地的收入X服从正态分布，取消之后每年每亩地的收入Y服从正态，已知Y的正态密度曲线的峰值高于X的正态密度曲线的峰值，则（????）
A． B．
C． D．，
11．已知正三棱柱的侧面为正方形，其各个顶点均在球的表面上，点分别为的中点，三棱锥的体积为，则（????）
A．平面
B．球的表面积为
C．异面直线与夹角的余弦值为
D．点到直线的距离为
三、填空题
12．样本数据的分位数为.
13．若关于的方程在区间上有实数根，则的取值范围为.
14．已知函数的定义域为，若，则.
四、解答题
15．已知数列满足，且是以为公比的等比数列．
（1）求数列中的最值；
（2）求数列的前项和．
16．如图，在四棱锥中，平面平面PAD，底面ABCD与侧面PAD均为边长为2的正多边形，点E是线段PA的中点．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求直线PA与平面BCE所成角的正弦值．
17．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：0为的极小值点.
18．在平面直角坐标系中，为双曲线上两不重合的动点，点，且当四点共线时，.
（1）求的标准方程；
（2）若直线与的渐近线垂直，且经过点，求直线与两坐标轴交点的坐标；
（3）若均在的右支上，且线段是的角平分线，求直线的方程.
19．已知一个非空数集A，对，且，记B为A去掉x，y后的集合，若有或，则称A是一个好集合．对于一个非空数集P，对，且，记Q为P去掉x，y后的集合，若有或或，则称P是一个坏集合．
（1）证明：集合不是好集合；
（2）若A是好集合，证明：存在一个与A中元素个数相同且仅由正实数构成的坏集合P；
（3）证明：不存在有限的好集合A，满足A中的元素均为正实数，且A中的元素个数为大于5的奇数．
参考答案
1．【答案】C
【详解】由全称命题的否定是特称命题，原命题的否定是.
故选C
2．【答案】A
【详解】在上的投影向量为.
故选A.
3．【答案】C
【详解】由，故，虚部为.
故选C
4．【答案】D
【详解】依题意及椭圆的定义可知的周长为：，
则，又，所以，
则离心率.
故选D.
5．【答案】B
【详解】曲线与的图象如下，
所以交点个数为3，
故选B.
6．【答案】B
【详解】已知每层与其外一层球面的间距构成首项、公差的等差数列.设该鬼工球的层数为，
由于最外层与最内层的半径之差就是这个等差数列的前项和，即.
根据等差数列前项和公式，
将，，代入可得：，即
得到，（因为层数为正整数，所以舍去）.
该鬼工球的层数为10.
故选B.
7．【答案】D
【详解】从6人中选3人排列共有种，由题意得
去班的方案有：种；
去B班的方案有：种；去C班的方案有：种；
所以，满足条件的方案数是：.
所以所求概率是.
故选D.
8．【答案】B
【详解】设，
∵，∴在处的切线方程，
在处的切线方程，
∵这两条切线的斜率之积为1，∴，
∵切线相交于点，
∴联立解得，，
，
即，
当时取等，
故选B.
9．【答案】ABD
【详解】因为，由正弦定理可得外接