辽宁省重点高中2024?2025学年高三下学期第三次联盟考试数学试卷
一、单选题
1．已知集合，集合，则（????）
A． B．
C． D．
2．“”是“”的(????)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．有一组样本数据，则（????）
A．这组样本数据的极差不小于4 B．这组样本数据的平均数不小于4
C．这组样本数据的中位数不小于3 D．这组样本数据的众数等于3
4．已知向量满足，则与的夹角为（????）
A． B． C． D．
5．某高中开发了三个不同的“美育”课程和两个不同的“劳动教育”课程，甲同学从五门课程中任选了两门，已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为（????）
A． B． C． D．
6．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（????）
A． B． C． D．
7．已知三棱锥中，，面面，该三棱锥外接球半径为，则的最小值为（????）
A． B． C．1 D．
8．若是函数的极大值点，则实数的取值集合为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（????）
A．
B．当时，的最大值为
C．数列为等差数列，且和数列的首项、公差均相同
D．数列前项和为，最大
10．用一个平面截正方体，所得的截面不可能是（????）
A．锐角三角形 B．直角梯形
C．有一个内角为的菱形 D．正五边形
11．曲线C是平面内与两个定点的距离的积等于的点P的轨迹，则下列结论正确的是（????）
A．曲线C关于坐标轴对称 B．点P到原点距离的最大值为
C．周长的最大值为 D．点P到y轴距离的最大值为
三、填空题
12．双曲线的离心率为.
13．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是．
14．已知数列通项公式，若数列是递减数列，则实数的取值范围为.
四、解答题
15．已知数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2）求和：.
16．已知的内角的对边分别为，若.
（1）求；
（2）求的面积.
17．已知椭圆左右焦点分别为，点为椭圆上一点，满足，且的面积为.
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知直线与椭圆交于两点，点坐标为，若，求椭圆的方程.
18．如图，三棱柱中，，，，且平面⊥平面.
（1）求三棱柱的体积.
（2）点在棱上，且与平面所成角的余弦值为（），求的长．
19．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若曲线上存在唯一的点，使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的取值范围．
参考答案
1．【答案】A
【详解】由可得：，所以，
由可得：，所以，
故，所以.
故选A.
2．【答案】D
【详解】若，，则满足，不满足；
由可得，不能推出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选D.
3．【答案】A
【详解】样本数据中，
对于A，显然这组样本数据的极差大于等于，故A正确；
对于B，若，则平均数为，故B错误；
对于C，若，则中位数为，故C错误；
对于D，若，则众数为，故D错误.
故选A
4．【答案】B
【详解】由可得，
故，结合故，
，故，
故选B
5．【答案】B
【详解】设事件A：至少有一门是“美育”课程，事件AB：两门都是“美育”课程，
从五门课程中任选两门的选法数为种.
“至少有一门是‘美育’课程”的对立事件是“两门都是‘劳动教育’课程”.
两门都是“劳动教育”课程的选法数为种.
所以至少有一门是“美育”课程的选法数为种.则.
从三个不同的“美育”课程中选两门的选法数为种，所以.
由条件概率公式，将，代入可得：
.
故选B.
6．【答案】C
【详解】因为是奇函数，所以，则．
又是偶函数，所以，所以．
故选C.
7．【答案】C
【详解】如图，平面与平面外接圆圆心分别为、，
外接圆半径分别为、，
三棱锥外接球球心为，半径，中点为，
由球的性质知平面，平面，，，
∵为中点，∴，，
∵面面，∴，
即四边形为矩形，∴，，
∴，，
解得，，，
由正弦定理，，
，
故选C.
8．【答案】A
【详解】
，
由，则，，
故恒成立，令，
由是函数的极大值点，
故，解得，
当时，，
则，，即且，
，
当时，，
当时，，
故在、上单调递增，
在、上单调递减，
故是函数的极大值点，符合要求.
故选A.
9．【答案】AD
【详解】对于A选项，若，则为递增数列，所以，，与矛盾，
若，则为常数列，所以，，与矛盾，
若，则为递减数列，则，由可得，合乎题意，A对；
对于B选项，由A选项可知，，，，
，
所以，当时，的最大值为，B错；
对于C选项，，则，
所以，，
所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为，C错；
对于D选项，由得，由得，