常州市第一中学2025届高三第三次模拟考试
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={x|x24},B={x|lg(x?1)1}
A．1,2 B．2,11 C．?2,11 D．1,11
2．已知4z=1?i（i为虚数单位)，则z
A．2 B．22 C．4
3．已知A为△ABC的一个内角，且tanA+π4=1
A．1010 B．?1010 C．3
4．已知抛物线C:y=x24的焦点为F，准线为l，P为C上一点，过P作l的垂线，垂足为M.若|MF|=|PF|，则|PF|=
A．2 B．3 C．4 D．2
5．如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，AB=8,A1B1=2，图1中水面高度恰好为棱台高度的12，图2中水面高度为棱台高度的23
A．23 B．65 C．287208
7．已知一组数据0，9，7，4，5，从1到10中的整数里随机选择2个不同的数加入这组数据，则得到的新数据与原数据中位数相同的概率为（???）
A．1645 B．2945 C．59
8．已知A2，1，B23，0，C，D四点均在函数f（x）＝log2axx+b
A．265 B．263 C．525
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．
9．数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布Bn,p，那么当n比较大时，X近似服从正态分布Nμ,σ2，其密度函数为φμ，σx=12πσe?（x?μ）
A．当x0时，P(?x≤Zx)=1?2
B．Φ
C．随机变量X~Nμ,σ2，当μ，σ
D．随机变量X~Nμ,σ2，当μ增大，σ
10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M是△ABC所在平面上一点，且AM=λAB+μ
A．若0λ1,0μ1,0λ+μ1，则M在△ABC内部
B．若λ=μ=13，则M为
C．若λ=23,μ=13，则
D．若b=2,c=3,∠BAC=π3，M为△ABC
11．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（????）
A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84
B．由“第n行所有数之和为2n”猜想：
C．在“杨辉三角”中，当n=12时，从第1行起，每一行的第2列的数字之和为66
D．在“杨辉三角”中，第n行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项的数字
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
14．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45．则第二名选手的得分是
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）如图，在三棱锥P?ABC中，PC⊥平面ABC，AB=BC=2，AC=23，PC=3，AE=2EP
(1)在线段AC上找一点F，使平面BEF⊥平面PAC，求AF的长；
(2)若D为PC的中点，求平面PAB与平面BDE夹角的余弦值．
16．（本小题满分15分）设ω0，函数y=f(x)的表达式为f(x)=cos
(1)若ω=2，设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，fC=?32，且
(2)对任意的x0∈R，皆有fx0≤fπ
17．（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为：x+32+y2=16，定点F3,0，B是圆C
(1)求点T的轨迹W的方程；
(2)轨迹W与x轴的交点为M，N(点N在点M右侧)，直线PQ与轨迹W交于P，Q两点(异于M，N)，MP的斜率为k1，NQ的斜率为k2且k1=3k2，△MPQ与△NPQ的面积分别为
18．（本小题满分17分）对于函数fx，若fx0=x0,
(1)当a=0时，
(i)求fx
(ii)若存在x0既是fx的极值点，也是fx
(2)判断是否存在实数a,b，使得fx有两个极值点，且这两个极值点均为f
19．（本小题满分17分）“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况