吉林省吉林市普通高中2024?2025学年高三下学期第四次模拟测试数学试题
一、单选题
1．已知命题，，命题，，则（???）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
2．已知复数为纯虚数，则实数的值为（???）
A． B．1 C．或1 D．2
3．为了解教育改革制度出台后学生每周的段炼时长情况，从某市中小学抽取样本，经分析得到改革后学生每周的锻炼时长（单位：小时）近似服从正态分布，若，则（???）
A． B． C． D．
4．直线的一个方向向量为，倾斜角为，则（???）
A．2 B． C． D．
5．已知正四棱锥的底面边长为，侧棱与底面所成角为，则该正四棱锥的体积为（???）
A． B．1 C． D．2
6．已知定义域为R的奇函数满足，则（???）
A． B．
C．的最小正周期为2 D．是曲线的一条对称轴
7．已知递减的等比数列前项和为，且满足，，若恒成立，则的最小值为（???）
A． B． C．2 D．
8．设，，定义余弦距离（为原点）.若，，则的最小值为（???）.
A． B．1 C． D．0
二、多选题
9．两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为3%；第二批占60%，次品率为2%，则（???）
A．从两批产品中各取1件，都取到次品的概率为0.06%
B．从两批产品中各取1件，都取到次品的概率为2.4%
C．两批产品混合后任取1件，该产品是次品的概率为2.4%
D．两批产品混合后任取1件，若取到的是次品，则它取自第一批产品的概率为0.3%
10．已知函数，则（???）
A．当时，函数的单调递减区间是
B．当时，函数的单调递增区间是
C．是函数的极大值
D．函数有且只有一个零点
11．如图，一个带有盖子的密闭圆台形铁桶中装有两个实心球（桶壁的厚度忽略不计），其中一个球恰为铁桶的内切球（与圆台的上，下底面及每条母线都相切的球），E为该球与母线BC的切点.AB，CD分别为铁桶上，下底面的直径，且，，F为的中点，则（??）
A．铁桶的母线长为3
B．铁桶的侧面积为
C．过D，E，F三点的平面与桶盖的交线与直线CD所成角的正切值为
D．桶中另一个球的半径的最大值为
三、填空题
12．若函数是定义域为的偶函数，则.
13．已知集合，，将中所有元素按从小到大的顺序构成数列，则数列的通项公式为.
14．已知，，且动点满足.则的取值范围为；若线段PM的垂直平分线与PA交于点Q，则的正切值的最大值为.
四、解答题
15．已知函数.
（1）若点是曲线上的动点，求点到直线的最短距离；
（2）若函数，求在上的最大值.
16．如图，四棱锥的底面是矩形，，平面平面，，，分别是的中点.
（1）证明：平面；
（2）若平面与平面的夹角为，求点到平面的距离.
17．在中，角的对边分别为，且，.
（1）若，求的周长；
（2）若内切圆，外接圆的半径分别为，求的取值范围.
18．在n重伯努利试验中，用X表示事件A发生的次数，则称随机变量X服从二项分布，它关注试验成功的总次数；用Y表示事件A第一次发生时已经进行的试验次数，则称随机变量Y服从几何分布，它关注的是首次成功发生的时机.在某篮球训练的投篮环节中，运动员甲每次投篮均相互独立，每次投篮命中的概率为p.
（1）当时，求运动员甲进行4次投篮，命中次数不少于2次的概率；
（2）设表示运动员甲首次命中时的投篮次数.
（i）求及此概率取得最大值时的值；
（ii）若甲最多投篮n次，第n次未命中也结束投篮，利用（i）中的p值，求Z的数学期望.
19．已知对任意平面向量，把向量绕其起点沿逆时针方向旋转角后得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.
（1）若平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标；
（2）若双曲线绕坐标原点逆时针旋转得到曲线.
（i）求双曲线的标准方程及离心率；
（ii）双曲线的左顶点为，右焦点为，过点且斜率存在的直线交双曲线于，两点，点是的外心，求证：直线与直线的斜率之积为定值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】对于命题，时，，
所以，为假命题，为真命题，
对于命题，，解得，或，
所以，，为真命题，为假命题，
所以和都是真命题.
故选C
2．【答案】B
【详解】由题可得.
故选B
3．【答案】A
【详解】由题设且，
所以.
故选A.
4．【答案】D
【详解】因为直线的一个方向向量为，所以，
则.
故选D
5．【答案】A
【详解】
因为正四棱锥底面是边长为的正方形，其对角线长为，
那么底面正方形中心到底面顶点的距离为对角线长的一半，为.
设正四棱锥为，为底面的中心，则底面，
故就是侧棱与底面所成角，已知侧棱与底面所成角为，即.
在中，，又，则，即正四棱锥的高.??