湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年
高三下学期期中考试数学试卷
一、单选题
1．举办校运会，某班参加田赛的学生有9人，参加径赛的学生有14人，两项都参加的有5人，那么该班参加本次运动会的人数共有（????）
A．28 B．23 C．18 D．16
2．若复数满足，则的虚部为（????）
A． B． C． D．
3．若过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，是抛物线的顶点，则是（????）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
4．已知O为的外心，且，则的大小为（????）
A． B． C． D．
5．已知函数的部分图像如图所示，其中为图像上两点，将函数图像的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度后得到函数的图像，则函数的单调递增区间为（????）
A． B．
C． D．
6．设奇函数，的导函数为，且，当时，，则使得成立的x的取值范围是（????）
A． B．
C． D．
7．已知数列的前n项和为，则“为常数列”是“，”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．函数，设球O的半径为，则（????）
A．球O的表面积随x增大而增大 B．球O的体积随x增大而减小
C．球O的表面积最小值为 D．球O的体积最大值为
二、多选题
9．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图象作出以下判断，正确的是（????）
A．图（1）的平均数中位数众数
B．图（2）的众数平均数中位数
C．图（2）的众数中位数平均数
D．图（3）的中位数平均数众数
10．已知x，y∈R，且0，则（????）
A．x-y0 B．sinx-siny0 C．0 D．2
11．已知数列满足，则下列说法正确的是（????）
A． B．为递增数列
C． D．
三、填空题
12．过三个点，，的圆的方程为．
13．等比数列中，，是方程的两根，则的值为.
14．若是定义在上的偶函数，当时，，若方程恰有4个不同的根，则实数的取值范围是．
四、解答题
15．在四棱锥中底面为矩形，底面，且，点为的中点，点为的中点，(《九章算术》中有一词“鳖臑”，对“鳖臑”的解说：即四个面都是直角三角形的三棱锥.)
(1)证明：平面；
(2)请你判断三棱锥是否为“鳖臑”，若是请给出证明过程，若不是请说明理由.
16．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角的大小；
(2)设，，求的值．
17．已知函数在点处的切线与直线平行.
（Ⅰ）求的值；??
（Ⅱ）令，求函数的单调区间.
18．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到400只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有320只，其中该项指标值不小于60的有220只.
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计
??
(1)填写完成上面的列联表（单位：只），并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有60只小白鼠产生抗体.
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠最多注射两次疫苗后产生抗体的概率；
（ii）以（i）中确定的概率作为人体最多注射两次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，现有40人进行接种试验，设最多注射两次疫苗后产生抗体的人数为随机变量，当时，取得最大值，求.
参考公式：（其中为样本容量）
0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
19．在平面直角坐标系中，直线l与抛物线W：相切于点P，且与椭圆交于A，B两点.
(1)当P的坐标为时，求；
(2)若点G满足求面积的最大值.
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
C
C
D
C
D
AC
ACD
题号
11
答案
ACD
1．C
【分析】分析出只参加田赛的有4人，只参加径赛的有9人，即可得解.
【详解】参加田赛的学生有9人，参加径赛的学生有14人，两项都参加的有5人，
所以只参加田赛的有4人，只参加径赛的有9人，所以参加本次运动会的人数共有18人.
故选：C
2．B
【分析】利用复数的模长公式和复数的除法